Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2018.

Baccalauréat S Antilles Guyane19 juin 2018

 

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats


L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que:

 

Partie A


Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard. On considère les événements suivants:

  1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
  2. Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
  3. Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587\;7$.
  4. Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin~?
    On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

 

Partie B


Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu= 4 \;000 $ et d'écart-type $\sigma=300$.

  1. Déterminer la probabilité qu'il y ait entre $3 ;400$ et $4\;600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
  2. Calculer la probabilité qu'il y ait plus de $4\;500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.

 

Partie C


L'exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.
Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.
Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant ?

 


Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats


L'exploitant d'une forêt communale décide d'abattre des arbres afin de les vendre, soit aux habitants, soit à des entreprises. On admet que:

 

Partie A


Parmi les arbres abattus, on en choisit un au hasard. On considère les événements suivants:

  1. Construire un arbre pondéré complet traduisant la situation.
  2. bac S antilles guyane juin 2018 ex1
  3. Calculer la probabilité que l'arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune.
  4. On veut calculer $p(C\cap H)=0,3\times 0,459=0,137~7$.
    La probabilité que l’arbre abattu soit un chêne vendu à un habitant de la commune est $0,137~7$.
  5. Justifier que la probabilité que l'arbre abattu soit vendu à un habitant de la commune est égale à $0,587\;7$.
  6. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(H)&=p(C\cap H)+p(S\cap H)+p(E\cap H) \\
    &=0,3\times 0,459+0,5\times 0,8 +0,2\times 0,25 \\
    &=0,137~7+0,4+0,05 \\
    &=0,587~7
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. Quelle est la probabilité qu'un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin ?
    On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
  8. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_H(S)&=\dfrac{p(S\cap H)}{p(H)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,8}{0,587~7} \\
    &\approx 0,681
    \end{align*}$
    La probabilité qu’un arbre abattu vendu à un habitant de la commune soit un sapin est environ égale à $0,681$.
    $\quad$

 

Partie B


Le nombre d'arbres sur un hectare de cette forêt peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale d'espérance $\mu= 4 \;000 $ et d'écart-type $\sigma=300$.

  1. Déterminer la probabilité qu'il y ait entre $3 ;400$ et $4\;600$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
  2. On a $p(3~400 \leqslant X \leqslant 4~600)=p(\mu-2\sigma \leqslant X\leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,954$
    ou

    2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

    $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

     

  3. Calculer la probabilité qu'il y ait plus de $4\;500$ arbres sur un hectare donné de cette forêt. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
  4. $p(X \geqslant 4~500)=0,5-p(4~000\leqslant X \leqslant 4~500) \approx 0,048$
    ou

     

    2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
    Avec une calculatrice de type TI

    $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

 

Partie C

 

L'exploitant affirme que la densité de sapins dans cette forêt communale est de 1 sapin pour 2 arbres.
Sur une parcelle, on a compté 106 sapins dans un échantillon de 200 arbres.
Ce résultat remet-il en cause l'affirmation de l'exploitant ?

On a $n=200$ et $p=0,5$.
Donc $n \geqslant 30$, $np=100 \geqslant 5$ et $n(1-p)=100 \geqslant 5$.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est :
$\begin{align*} I_{200} &=\left[0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}};0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5\times 0,5}{200}}\right] \\
&\approx [0,431;0,570]
\end{align*}$

La fréquence observée est $f=\dfrac{106}{200}=0,53 \in I_{200}$.

Ce résultat ne remet pas en cause l’affirmation de l’exploitant.

$\quad$


Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête. Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.
Ex2 Cube
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre. Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:

  1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
  2. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
    1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
    2. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
  3. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.
    1. Vérifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
    2. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est: \[ 3x+3y+2z-18=0. \]
    3. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&0\\ y&=&s~~~~(s\in\mathbb R)\\ z&=&6 \end{array} \right. \] Calculer les coordonnées du point $M$.
  4. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante: \[ V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}. \]
  5. L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55$^{o}$ et 60$^{o}$.
    Cette contrainte d'angle est-elle respectée ?

Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats


Un artiste souhaite réaliser une sculpture composée d'un tétraèdre posé sur un cube de 6 mètres d'arête. Ces deux solides sont représentés par le cube $ABCDEFGH$ et par le tétraèdre $SELM$ ci-dessous.
Ex2 Cube
On munit l'espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ tel que: $I\in[AB]$, $J\in[AD]$, $K\in[AE]$ et $AI=AJ=AK=1$, l'unité graphique représentant 1 mètre. Les points $L$, $M$ et $S$ sont définis de la façon suivante:

  1. Démontrer, sans calcul de coordonnées, que les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
  2. Les plans $(FGH)$ et $(BCD)$ sont parallèles.
    La droite $(LM)$ est l’intersection du plan $(FGH)$ avec le plan $(SLM)$.
    La droite $(BD)$ est l’intersection du plan $(BCD)$ avec le plan $(SLM)$.
    Par conséquent les droites $(LM)$ et $(BD)$ sont parallèles.
    $\quad$
  3. Démontrer que les coordonnées du point $L$ sont $(2~;~0~;~6)$.
  4. Dans le repère $\left(A;\vec{AI},\vec{AJ},\vec{AK}\right)$ on a :
    $F(6;0;6)$, $E(0;0;6)$.
    Par conséquent $\vec{FE}(-6;0;0)$.
    Donc :
    $$\begin{align*} \vec{FL}=\dfrac{2}{3}\vec{FE} &\iff \begin{cases} x_L-6=\dfrac{2}{3}\times (-6) \\y_L-0=\dfrac{2}{3}\times 0 \\z_L-6=\dfrac{2}{3}\times 0 \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases}x_L-6=-4\\y_L=0\\z_L=6\end{cases}
    \end{align*}$$
    Les coordonnées du point $L$ sont donc $(2;0;6)$.
    $\quad$
    1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BL)$.
    2. On a $B(6;0;0)$ et $\vec{BL}(-4;0;6)$
      Une représentation paramétrique de la droite $(BL)$ est :
      $$\begin{cases} x=6-4t\\y=0\\z=6t\end{cases}, \quad t \in \mathbb R$$
      $\quad$
    3. Vérifier que les coordonnées du point $S$ sont $(0~;~0~;~9)$.
    4. Le point $S$ appartient à la droite $(AE)$. Ses coordonnées sont donc $\left(0;0;z_S\right)$.
      De plus le point $S$ appartient à la droite $(BL)$.
      On a donc :
      $$\begin{align*} \begin{cases} 0=6-4t\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=6t\end{cases} &\iff \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x_S=0\\y_S=0\\z_S=\dfrac{3}{2}\times 6\end{cases}
      \end{align*}$$
      Le point $S$ a donc pour coordonnées $(0;0;9)$.
      $\quad$
  5. Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $(3~;~3~;~2)$.
    1. Vérifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(BDL)$.
    2. On a $B(6;0;0)$ et $D(0;6;0)$. Par conséquent $\vec{BD}(-6;6;0)$.
      De plus $\vec{BL}(-4;0;6)$.
      Ainsi $\vec{n}.\vec{BD}=3\times (-6)+3\times 6+2\times 0=0$
      et $\vec{n}.\vec{BL}=3\times (-4)+3\times 0+2\times 6=0$
      Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(BDL)$.
      $\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(BDL)$.
      $\quad$
    3. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est: \[ 3x+3y+2z-18=0. \]
    4. Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est ainsi de la forme $$3x+3y+2z+d=0$$
      Le point $B(6;0;0)$ appartient à ce plan.
      Donc $3\times 6+0+0+d=0 \iff d=-18$.
      Une équation cartésienne du plan $(BDL)$ est par conséquent $$3x+3y+2z-18=0$$
      $\quad$
    5. On admet que la droite $(EH)$ a pour représentation paramétrique: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x&=&0\\ y&=&s~~~~(s\in\mathbb R)\\ z&=&6 \end{array} \right. \] Calculer les coordonnées du point $M$.
    6. Le point $M$ est le point d’intersection de la droite $(EH)$ et du plan $(BDL)$.
      Ses coordonnées sont donc solution du système :
      $\begin{align*} \begin{cases}x=0\\y=s\\z=6\\3x+3y+2z-18=0\end{cases} &\iff \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\0+3s+12-18=0\end{cases} \\
      &\iff \begin{cases} x=0\\y=s\\z=6\\3s=6 \end{cases} \\
      &\iff \begin{cases} s=2\\x=0\\y=2\\z=6\end{cases}
      \end{align*}$
      Le point $M$ a pour coordonnées $(0;2;6)$.
      $\quad$
  6. Calculer le volume du tétraèdre $SELM$. On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante: \[ V=\frac13\times\text{Aire de la base}\times\text{Hauteur}. \]
  7. On a $\vec{EL}(2;0;0)$ donc $EL=2$
    et $\vec{EM}(0;2;0)$ donc $EM=2$
    L’aire du triangle $ELM$ est donc $\mathscr{A}=\dfrac{2\times 2}{2}=2$ m$^2$.
    De plus $\vec{ES}(0;0;3)$ donc $ES=3$.
    Le volume du tétraèdre $SELM$ est $V=\dfrac{2\times 3}{3}=2$ m$^3$.
    $\quad$
  8. L'artiste souhaite que la mesure de l'angle $\widehat{SLE}$ soit comprise entre 55$^{o}$ et 60$^{o}$.
    Cette contrainte d'angle est-elle respectée ?
  9. On a $\vec{LS}(-2;0;3)$ et $\vec{LE}(-2;0;0)$.
    Par conséquent $LS=\sqrt{(-2)^2+0^2+3^2}=\sqrt{13}$ et $LE=2$
    D’une part $\vec{LS}.\vec{LE}=-2\times (-2)+0+0=4$
    D’autre part $\vec{LS}.\vec{LE}=2\sqrt{13}\cos\widehat{SLE}$
    Donc $\cos\widehat{SLE}=\dfrac{4}{2\sqrt{13}}$
    Ainsi $\widehat{SLE} \approx 56,3$°.
    La contrainte d’angle est respectée.
    $\quad$

Exercice 3 5 points


Fonctions


Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:
logo
Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par: \[ f(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{ et } g(x)=-\text{e}^{-x}\cos x. \] On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb R$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

 

  1. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R$:\[ -\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}.\]
  2. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
  3. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
  4. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
    1. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
    2. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.

 

Partie B — Aire du logo


On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

  1. Étudier la position relative dela courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbre $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb R$.
  2. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[ H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}. \] On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x}$ sur $\mathbb R$ . On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
    1. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
    2. Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^{2}$.
  3. ANNEXE


    Ex3 Annexe

Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats


Un publicitaire souhaite imprimer le logo ci-dessous sur un T-shirt:
logo
Il dessine ce logo à l'aide des courbes de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb R$ par: \[ f(x)=\text{e}^{-x}(-\cos x+\sin x+1)\text{ et } g(x)=-\text{e}^{-x}\cos x. \] On admet que les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb R$.

Partie A — Étude de la fonction $f$

 

  1. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R$:\[ -\text{e}^{-x}\leqslant f(x)\leqslant 3\text{e}^{-x}.\]
  2. Pour tout réel $x$ on a $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ donc $-1\leqslant -\cos x \leqslant 1$
    et $-1\leqslant \sin x \leqslant 1$
    Ainsi $-1-1+1 \leqslant -\cos x+\sin x+1 \leqslant 1+1+1 \iff -1\leqslant -\cos x+\sin x+1 \leqslant 3$
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb R$.
    On a alors $-\text{e}^{-x} \leqslant f(x) \leqslant 3\text{e}^{-x}$.
    $\quad$
  3. En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
  4. $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{t \to -\infty} \text{e}^t=0$.
    Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty}-\text{e}^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} 3\text{e}^{-x}=0$.
    D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  5. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)=\text{e}^{-x}(2\cos x-1)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
  6. La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\text{e}^{-x}\left(-\cos x+\sin x+1\right)+\text{e}^{-x}\left(-(-\sin x)+\cos x\right) \\
    &=\left(\cos x-\sin x-1+\sin x+\cos x\right)\text{e}^{-x} \\
    &=\left(2\cos x-1\right)\text{e}^{-x}
    \end{align*}$
    $\quad$
  7. Dans cette question, on étudie la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
    1. Déterminer le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-\pi;\pi]$.
    2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $[-\pi;\pi]$.
      Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\cos x-1$.
      Or, sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$ :
      $2\cos x-1=0 \\ \iff \cos x =0,5 \\ \iff \begin{cases} x=\dfrac{\pi}{3}\\\text{ou}\\x=-\dfrac{\pi}{3}\end{cases}$
      et $2\cos x-1>0 \\ \iff \cos x>0,5 \\ \iff x \in \left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
      Ainsi sur l’intervalle $[-\pi;\pi]$, $f'(x)<0$ sur $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[\cup\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$.
      $\quad$
      Ex3 Trigo
    3. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi;\pi]$.
    4. La fonction $f$ est donc décroissante sur les intervalles $\left]-\pi;-\dfrac{\pi}{3}\right[$ et $\left]\dfrac{\pi}{3};\pi\right]$ et elle est croissante sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{3}\right[$.
      $\quad$

 

Partie B — Aire du logo


On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. L'unité graphique est de 2 centimètres. Ces deux courbes sont tracées en ANNEXE.

  1. Étudier la position relative dela courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la courbre $\mathcal{C}_g$ sur $\mathbb R$.
  2. Pour tout réel $x$ on a : $f(x)-g(x)=\text{e}^{-x}\left(\sin x+1\right)$.
    Or $-1\leqslant \sin x\leqslant 1$ donc $0\leqslant \sin x +1 \leqslant 2$.
    Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur$mathbb R$, cela signifie donc que $f(x)-g(x) \geqslant 0$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est par conséquent toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$.
  3. Soit $H$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par: \[ H(x)=\left(-\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}-1\right)\text{e}^{-x}. \] On admet que $H$ est une primitive de la fonction $x\mapsto (\sin x+1)\text{e}^{-x}$ sur $\mathbb R$ . On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la courbe $\mathcal{C}_g$ est les droites d'équation $x=-\frac{\pi}{2}$ et $x=\frac{3\pi}{2}$.
    1. Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique en annexe à rendre avec la copie.
    2. Ex3 Annexe correction
    3. Calculer, une unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$, puis en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près en cm$^{2}$.
    4. La fonction $h$ définie sur $\mathbb R$ par $ h(x)=f(x)-g(x)$ est positive (question B.1) et continue (somme de fonctions continues sur $\mathbb R$).
      Par conséquent l’aire du domaine $\mathcal{D}$ est :
      $\begin{align*} \displaystyle \mathscr{A}&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \left(f(x)-g(x)\right) \text{d}x \\
      &=H\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)-H\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) \\
      &=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\text{e}^{-3\pi/2}-\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\text{e}^{\pi/2} \\
      &=-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-3\pi/2}+\dfrac{1}{2}\text{e}^{\pi/2} \text{ u.a.}
      \end{align*}$
      Or $1$ u.a. $=2^2=4$ cm$^2$.
      Ainsi $\mathscr{A}\approx 9,60$ cm$^2$.
      $\quad$

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le directeur d'une réserve marine a recensé $3\;000$ cétacés dans cette réserve au 1$^{er}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\;000$.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{er}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0= 3\;000$ .

  1. Justifier que $u_1= 2\;926 $.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,95 u_n+76$.
  3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 1& n &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2& u_n & 3\;000 & 2\;926 & 2\;856 & 2\;789 & 2\;725 & 2\;665 & 2\;608 & 2\;553 \\ \hline \end{array}$$ Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1 \;520 $.
    2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
  4. On déisgne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n- 1\;520 $.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n= 1\;480 \times 0,95 ^n+ 1\;520 $.
    3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  5. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\;000 . $$\begin{array}{|l|}\hline n\leftarrow 0 \\ u\leftarrow 3\;000 \\ \text{ Tant que } \ldots\\ \phantom{xxxx} n\leftarrow \ldots \\ \phantom{xxxx} u\leftarrow \ldots \\ \text{Fin de Tant que }\\\hline \end{array}$$ La notation « $\leftarrow$» correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$».
  6. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le directeur d'une réserve marine a recensé $3\;000$ cétacés dans cette réserve au 1$^{er}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\;000$.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{er}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0= 3\;000$ .

  1. Justifier que $u_1= 2\;926 $.
  2. n a $u_1=(1-0,05)\times (u_0+80)=0,95\times 3~080=2~926$.
    $\quad$
  3. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,95 u_n+76$.
  4. $80$ cétacés arrivent dans la réserve sur la première période.
    On a ainsi $u_n+80$ cétacés.
    Il y a ensuite une baisse de $5\%$ de son effectif sur une seconde période.
    Donc $u_{n+1}=0,95\left(u_n+80\right)=0,95u_n+76$.
    $\quad$
  5. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 1& n &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2& u_n & 3\;000 & 2\;926 & 2\;856 & 2\;789 & 2\;725 & 2\;665 & 2\;608 & 2\;553 \\ \hline \end{array}$$ Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
  6. On a pu saisir $=0,95*B2+76$.
    $\quad$
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1 \;520 $.
    2. Montrons ce résultat par récurrence.
      Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0 = 3~000 \geqslant 1~520$.
      La propriété est vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \geqslant 1~520$.
      Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $u_{n+1} \geqslant 1~520$
      $$\begin{array} {ll}u_n \geqslant 1~520 &\iff 0,95u_n \geqslant 1~444 \\ &\iff 0,95u_n+76 \geqslant 1~520 \\ \ &\iff u_{n+1} \geqslant 1~520 \end{array}$$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\geqslant 1~520$.
      $\quad$
    3. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
    4. Soit $n$ un entier naturel. On a alors :
      $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,95u_n+76-u_n \\
      &=-0,05u_n+76 \\
      &\\\leqslant 0,05\times 1~520+76 \\
      &\\\leqslant 0
      \end{align*}$
      La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
      $\quad$
    5. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
    6. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~520$. Elle converge donc.
  7. On déisgne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n- 1\;520 $.
    1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-1~520 \\ \iff u_n=v_n+1~520$.
      $$\begin{array}{ll} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~520 \\ &=0,95u_n+76-1~520 \\ &=0,95u_n-1~444 \\ &=0,95\left(v_n+1~520\right)-1~444 \\ &=0,95v_n+1~444-1~444 \\ &=0,95v_n \end{array}$$
      La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=u_0-1~520=1~480$.
      $\quad$
    3. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n= 1\;480 \times 0,95 ^n+ 1\;520 $.
    4. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a :
      $v_n=1~480\times 0,95^n$ et $u_n=v_n+1~520=1~480\times 0,95^n+1~520$.
      $\quad$
    5. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
    6. On a $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,95^n=0$.
      Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=1~520$.
      $\quad$
  8. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\;000 . $$\begin{array}{|l|}\hline n\leftarrow 0 \\ u\leftarrow 3\;000 \\ \text{ Tant que } \ldots\\ \phantom{xxxx} n\leftarrow \ldots \\ \phantom{xxxx} u\leftarrow \ldots \\ \text{Fin de Tant que }\\\hline \end{array}$$ La notation « $\leftarrow$» correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$».
  9. On obtient l’algorithme :
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    n \leftarrow 0\\
    u \leftarrow 3~000 \\
    \text{Tant que } u>2~000 \\
    \hspace{1cm} \begin{array}{|l} n \leftarrow n+1 \\u \leftarrow 0,95\times u+76 \end{array} \\
    \text{Fin de Tant que }\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  10. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.
  11. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et tend vers $1~520<2~000$.
    La réserve marine fermera donc un jour.
    On veut déterminer la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que
    $$\begin{array} {ll} u_n \leqslant 2~000 & \iff 1~480\times 0,95^n+1~520 \leqslant 2~000 \\ & \iff 1~480\times 0,95^n \leqslant 480 \\ &\\& \iff 0,95^n \leqslant \dfrac{12}{37} \\ & \iff n\ln(0,95) \leqslant \ln \dfrac{12}{37} \\ & \iff n \geqslant \dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)} \end{array}$$
    Or $\dfrac{\ln \dfrac{12}{37}}{\ln(0,95)}\approx 21,95$.
    Donc $n \geqslant 22$.
    La réserve marine fermera en 2039.
    $\quad$

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.
On note, pour l'année $2017+n$:

On observe que:

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n \end{pmatrix}$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65 & 0,45 \\ 0,35 & 0,55 \end{pmatrix}$.
  2. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
  3. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

    En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
    1. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
      On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
    2. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
  4. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+7\times 0,2 ^n&9-9\times 0,2^n\\ 7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n \end{pmatrix}. \]
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
    2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$: \[ \ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times 0,2^n. \]
  5. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60 % ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Le droit de pêche dans une réserve marine est réglementé : chaque pêcheur doit posséder une carte d'accréditation annuelle. Il existe deux types de cartes :

On suppose que le nombre total de pêcheurs reste constant d'année en année.
On note, pour l'année $2017+n$:

On observe que:

On note, pour tout entier naturel $n$, $P_n=\begin{pmatrix} \ell_n\\q_n \end{pmatrix}$.

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=MP_n$, où $M$ est la matrice carrée $\begin{pmatrix} 0,65 & 0,45 \\ 0,35 & 0,55 \end{pmatrix}$.
  2. On appelle $L$ l’événement “le pêcheur possède une carte de pêche libre” et $Q$ l’événement “le pêcheur possède une carte de pêche avec quota”.
    On obtient donc le graphe probabiliste suivant :

    Ainsi pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\ell_{n+1}=0,65\ell_n+0,45q_n$ et $q_{n+1}=0,55q_n+0,35\ell$.
    Par conséquent $\begin{pmatrix} \ell_{n+1}\\q_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,65&0,45\\0,35&0,55 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ell_n\\ q_n \end{pmatrix}$
    Soit $P_{n+1}=MP_n$.
    $\quad$
  3. Calculer la proportion de pêcheurs achetant une carte de pêche avec quota en 2019.
  4. En 2019, on a $n=2$.
    Donc $P_2=M\times P_1=M^2P_0=\begin{pmatrix}0,556\\0,444\end{pmatrix}$.
    Ainsi $q_2=0,444$.
    $44,4\%$ des pêcheurs achètent une carte avec quota en 2019.
    $\quad$
  5. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

    En vous appuyant sur les résultats précédents, répondre aux deux questions suivantes :
    1. Justifier que $Q$ est une matrice inversible et préciser sa matrice inverse.
      On notera $Q^{-1}$ la matrice inverse de $Q$.
    2. On a $TQ=QT=\begin{pmatrix}1&0\\0&1 \end{pmatrix}$.
      La matrice $Q$ est donc inversible et $Q^{-1}=T$.
      $\quad$
    3. Justifier que $M=QDQ^{-1}$ et démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[M^n=QD^nQ^{-1}.\]
    4. On a $D=Q^{-1}MQ \\\iff QDQ^{-1}=M$.
      $\quad$
      Montrons par récurrence sur $n$ que $M^n=QD^nQ^{-1}$.
      Initialisation : Si $n=1$ alors $QD^1Q^{-1}=QDQ^{-1}=M$
      La propriété est vraie au rang $1$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $M^n=QD^nQ^{-1}$.
      Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $M^{n+1}=QD^{n+1}Q^{-1}$.
      Alors
      $\begin{align*} M^{n+1}&=M\times M^n \\
      &=QDQ^{-1}\times QD^nQ^{-1} \\
      &=QDD^nQ^{-1} \\
      &=QD^{n+1}Q^{-1}
      \end{align*}$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $M^n=QD^nQ^{-1}$.
      $\quad$
  6. On admet que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ M^n=\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 9+7\times 0,2 ^n&9-9\times 0,2^n\\ 7-7\times 0,2^n&7+9\times 0,2^n \end{pmatrix}. \]
    1. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $P_n=M^nP_0$.
    2. Montrons par récurrence sur $n$ que $P_n=M^nP_0$.
      Initialisation : Si $n=1$ alors $P_1=MP_0$.
      La propriété est vraie ai rang $1$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $P_n=M^nP_0$.
      Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $P_{n+1}=M^{n+1}P_0$.
      $\begin{align*} P_{n+1}&=MP_n \\
      &=M\times M^nP_0 \\
      &=M^{n+1}P_0
      \end{align*}$
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $P_n+M^nP_0$.
      $\quad$
    3. Justifier que, pour tout entier naturel $n$: \[ \ell_n=\frac{9}{16}-\frac{13}{80}\times 0,2^n. \]
    4. Ainsi
      $P_{n}=M_n\begin{pmatrix}0,4\\0,6\end{pmatrix}$
      Par conséquent
      $\begin{align*} \ell_n&=\dfrac{1}{16}\left[0,4\left(9+7\times 0,2^n\right)+0,6\left(9-9\times 0,2^n\right)\right] \\
      &=\dfrac{1}{16}\left(3,6+2,8\times 0,2^n+5,4-5,4\times 0,2^n\right) \\
      &=\dfrac{1}{16}\left(9-2,6\times 0,2^n\right) \\
      &=\dfrac{9}{16}-\dfrac{13}{80}\times 0,2^n
      \end{align*}$
      $\quad$
  7. La proportion de pêcheurs achetant la carte de pêche libre dépassera-t-elle 60 % ?
  8. Pour tout entier naturel $n$ on a $\dfrac{13}{80}\times 0,2^n>0$
    Donc $\ell_n < \dfrac{9}{16}<0,6$
    La proportion de pêcheur achetant la carte de pêche libre ne dépassera jamais $60\%$.
    $\quad$