Baccalauréat S Antilles Guyane19 juin 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le directeur d'une réserve marine a recensé $3\;000$ cétacés dans cette réserve au 1$^{er}$ juin 2017. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en « réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à $2\;000$.
Une étude lui permet d'élaborer un modèle selon lequel, chaque année:

• entre le 1$^{er}$ juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;
• entre le 1$^{er}$ novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l'évolution du nombre de cétacés par une suite $(u_n)$. Selon ce modèle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de cétacés au 1$^{er}$ juin de l'année $2017+n$. On a donc $u_0= 3\;000$ .

1. Justifier que $u_1= 2\;926 $.
2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}= 0,95 u_n+76$.
3. À l'aide d'un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite $(u_n)$. Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l'unité. $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &A&B&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline 1& n &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 2& u_n & 3\;000 & 2\;926 & 2\;856 & 2\;789 & 2\;725 & 2\;665 & 2\;608 & 2\;553 \\ \hline \end{array}$$ Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d'obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite $(u_n)$ ?
4. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant 1 \;520 $.
   2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   3. Justifier que la suite $(u_n)$ est convergente. On ne cherchera pas ici la valeur de la limite.
5. On déisgne par $(v_n)$ la suite définie par, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n- 1\;520 $.
   1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n= 1\;480 \times 0,95 ^n+ 1\;520 $.
   3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
6. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2\;000 . $$\begin{array}{|l|}\hline n\leftarrow 0 \\ u\leftarrow 3\;000 \\ \text{ Tant que } \ldots\\ \phantom{xxxx} n\leftarrow \ldots \\ \phantom{xxxx} u\leftarrow \ldots \\ \text{Fin de Tant que }\\\hline \end{array}$$ La notation « $\leftarrow$» correspond à une affectation de valeur, ainsi « $n\leftarrow 0$» signifie « Affecter à $n$ la valeur $0$».
7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l'année de la fermeture.