Baccalauréat S Polynésie 20 juin 2018 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier. À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.
Soit $n$ un entier naturel.
On note $a_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie A à l'étape $n$».
On note $b_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie B à l'étape $n $».
On note $c_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie C à l'étape $n $».
À l'étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A. Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant : $$\left\{\begin{array}{l c r} a_{n+1}&=&\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{4} b_n \phantom{+ \frac{2}{3}c_n}\\ b_{n+1}&=&\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2} b_n + \frac{2}{3}c_n\\ c_{n+1}&=&\frac{1}{4}b_n + \frac{1}{4} c_n \end{array}\right.$$
L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

Partie A

À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 & n & a_n & b_n & c_n \\ \hline 2 &0 & 1 &0 &0\\ \hline 3 &1 &0,333 &0,667 &0\\ \hline 4 &2 &0,278 &0,556 &0,167\\ \hline 5 &3 &0,231 &0,574 &0,194\\ \hline 6 &4 &0,221 &0,571 &0,208\\ \hline 7 &5 &0,216 &0,572 &0,212\\ \hline 8 &6 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline 9 &7 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline 10 &8 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline 11 &9 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline 12 &10 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline \end{array}$$

1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
On a pu écrire : $=2*B2/3+C2/2+2*D2/3$.

2. Quelle conjecture peut-on émettre ?
Il semblerait les suites $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$ convergent vers des limites dont des valeurs approchées sont respectivement $0,214$, $0,571$ et $0,214$.
$\quad$

 

Partie B

 

1. On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.
   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-c_n$.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-c_{n+1} \\
   &=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n-\left(\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n\right) \\
   &=\dfrac{1}{3}a_n-\dfrac{1}{3}c_n \\
   &=\dfrac{1}{3}\left(a_n-c_n\right) \\
   &=\dfrac{1}{3}u_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme  $u_0=a_0-c_0=1$.
   $\quad$
   
   2. Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
   $\quad$
2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
   1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.
   Le lapin ne peut aller que dans $3$ galeries.
   Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1$.
   Par conséquent $a_n+c_n=1-b_n$.
   $\quad$
   On a $v_n=b_n-\dfrac{4}{7} \iff b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$.
   $\begin{align*} v_{n+1}&=b_{n+1}-\dfrac{4}{7} \\
   &=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n-\dfrac{4}{7} \\
   &=\dfrac{2}{3}\left(a_n+c_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
   &=\dfrac{2}{3}\left(1-b_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
   &=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
   &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}b_n \\
   &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}\left(v_n+\dfrac{4}{7}\right) \\
   &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}v_n-\dfrac{2}{21} \\
   &=-\dfrac{1}{6}v_n
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{6}$ et de premier terme $v_0=b_0-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{4}{7}$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
   $\quad$
3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n, \quad b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n \quad \text{et} \quad c_{n} = \dfrac{3}{14} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n.$$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$b_n=v_n+\dfrac{4}{7}=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
On a $(S)\iff \begin{cases} a_n-c_n=u_n\\a_n+c_n+b_n=1 \end{cases}$.
En ajoutant les deux lignes on a : $2a_n=u_n+1-b_n \iff a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}$.
Donc $(S) \iff \begin{cases} a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}\\c_n=1-a_n-b_n \end{cases}$.
Par conséquent
$$\begin{array}{ll} a_n &=\dfrac{u_n+1-b_n}{2} \\ &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n}{2} \\ &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\ &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \end{array}$$ $\quad$ $$\begin{array} {ll} c_n&=1-a_n-b_n \\ &=1-\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\right) \\ &=1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{3}{14}-\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\ &=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \end{array}$$
$\quad$
4. Que peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d'étapes ?
On a $-1<\dfrac{1}{3}<1$ et $-1<-\dfrac{1}{6}<1$
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=\dfrac{3}{14}$,  $\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=\dfrac{4}{7}$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} c_n=\dfrac{3}{14}$.
Après un très grand nombre d’étapes, la probabilité que le lapin soit dans la galerie A est $\dfrac{3}{14}$, dans la galerie B est $\dfrac{4}{7}$ et dans la galerie C est $\dfrac{3}{14}$.