Baccalauréat S Polynésie 20 juin 2018

 

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Rappel de connaissances :
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est donné par la formule \[\left[p- 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~p + 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right]\] où $n$ désigne la taille de l'échantillon et $p$ la proportion des individus possédant le caractère étudié dans cette population. Les conditions de validité de cet intervalle sont les suivantes : \[n \geqslant 30,\: np \geqslant 5,\: n(1 - p) \geqslant 5.\] La municipalité d'une grande ville dispose d'un stock de DVD qu'elle propose en location aux usagers des différentes médiathèques de cette ville. Afin de renouveler son offre de location, la municipalité décide de retirer des DVD de son stock. Parmi les DVD retirés, certains sont défectueux, d'autres non. Parmi les 6 % de DVD défectueux sur l'ensemble du stock, 98% sont retirés. On admet par ailleurs que parmi les DVD non défectueux, 92% sont maintenus dans le stock; les autres sont retirés.
Les trois parties sont indépendantes.

Partie A


On choisit un DVD au hasard dans le stock de la municipalité. On considère les évènements suivants:

  • $D$ :« le DVD est défectueux» ;
  • $R$ :« le DVD est retiré du stock» .

On note $\overline{D}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires respectifs des évènements $D$ et $R$.

  1. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $0,134$.
  2. Une association caritative contacte la municipalité dans l'objectif de récupérer l'ensemble des DVD qui sont retirés du stock. Un responsable de la ville affirme alors que parmi ces DVD retirés, plus de la moitié est composée de DVD défectueux. Cette affirmation est-elle vraie ?

 

Partie B


Une des médiathèques de la ville se demande si le nombre de DVD défectueux qu'elle possède n'est pas anormalement élevé. Pour cela, elle effectue des tests sur un échantillon de $150 $~DVD de son propre stock qui est suffisamment important pour que cet échantillon soit assimilé à un tirage successif avec remise. Sur cet échantillon, on détecte $14$ DVD défectueux. Peut-on rejeter l'hypothèse selon laquelle, dans cette médiathèque,6 % des DVD sont défectueux ?

Partie C


Une partie du stock de DVD de la ville est constituée de DVD de films d'animation destinés au jeune public. On choisit un film d'animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 80$ min et d'écart-type $\sigma$. De plus, on estime que $P(X \geqslant 92) = 0,10$.

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
  2. Un enfant regarde un film d'animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu'il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent ?

Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

Rappel de connaissances :
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est donné par la formule \[\left[p- 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}~;~p + 1,96\dfrac{\sqrt{p(1 - p)}}{\sqrt{n}}\right]\] où $n$ désigne la taille de l'échantillon et $p$ la proportion des individus possédant le caractère étudié dans cette population. Les conditions de validité de cet intervalle sont les suivantes : \[n \geqslant 30,\: np \geqslant 5,\: n(1 - p) \geqslant 5.\] La municipalité d'une grande ville dispose d'un stock de DVD qu'elle propose en location aux usagers des différentes médiathèques de cette ville. Afin de renouveler son offre de location, la municipalité décide de retirer des DVD de son stock. Parmi les DVD retirés, certains sont défectueux, d'autres non. Parmi les 6 % de DVD défectueux sur l'ensemble du stock, 98% sont retirés. On admet par ailleurs que parmi les DVD non défectueux, 92% sont maintenus dans le stock; les autres sont retirés.
Les trois parties sont indépendantes.

Partie A


On choisit un DVD au hasard dans le stock de la municipalité. On considère les évènements suivants:

  • $D$ :« le DVD est défectueux» ;
  • $R$ :« le DVD est retiré du stock» .

On note $\overline{D}$ et $\overline{R}$ les évènements contraires respectifs des évènements $D$ et $R$.

  1. Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $0,134$.
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    arbre
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $$\begin{align*} p(R) &= p(D\cap R)+p\left(\overline{D}\cap R\right) \\
    &=0,06\times 0,98+0,94\times 0,08\\
    &=0,134
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. Une association caritative contacte la municipalité dans l'objectif de récupérer l'ensemble des DVD qui sont retirés du stock. Un responsable de la ville affirme alors que parmi ces DVD retirés, plus de la moitié est composée de DVD défectueux. Cette affirmation est-elle vraie ?
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_R(D)&=\dfrac{p(R\cap D)}{p(R)} \\
    &=\dfrac{0,06\times 0,98}{0,134} \\
    & \approx 0,44 \\
    &<0,5
    \end{align*}$
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

 

Partie B

 

Une des médiathèques de la ville se demande si le nombre de DVD défectueux qu'elle possède n'est pas anormalement élevé. Pour cela, elle effectue des tests sur un échantillon de $150 $~DVD de son propre stock qui est suffisamment important pour que cet échantillon soit assimilé à un tirage successif avec remise. Sur cet échantillon, on détecte $14$ DVD défectueux. Peut-on rejeter l'hypothèse selon laquelle, dans cette médiathèque,6 % des DVD sont défectueux ?

On a $n=150$ et $p=0,06$.
$n\geq 30$, $np=9 \geq 5$ et $n(1-p)=141 \geq 5$.
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de DVD défectueux est :
$$\begin{align*} I_{150}&=\left[0,06-1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{150}};0,06+1,96\sqrt{\dfrac{0,06\times 0,94}{150}}\right] \\
&\approx [0,021;0,099]
\end{align*}$$

La fréquence observée est $f=\dfrac{14}{150}\approx 0,093 \in I_{150}$.

On ne peut donc pas rejeter l’hypothèse faite.
$\quad$

Partie C


Une partie du stock de DVD de la ville est constituée de DVD de films d'animation destinés au jeune public. On choisit un film d'animation au hasard et on note $X$ la variable aléatoire qui donne la durée, en minutes, de ce film. $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 80$ min et d'écart-type $\sigma$. De plus, on estime que $P(X \geqslant 92) = 0,10$.

  1. Déterminer le réel $\sigma$ et en donner une valeur approchée à $0,01$.
  2. La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-80}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
    $$\begin{align*} P(X \geq 92)=0,1 &\iff P(X-80\geq 12)=0,1 \\
    &\iff P\left(\dfrac{X-90}{\sigma} \geq \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,1 \\
    &\iff P\left(\dfrac{X-90}{\sigma} \leq \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    &\iff P\left(Y \leq \dfrac{12}{\sigma}\right)=0,9  \\
    \end{align*}$$
    À l’aide de la fonction inverse loi normale de la calculatrice, on trouve :
    $\dfrac{12}{\sigma} \approx 1,282$ donc $\sigma \approx 9,36$.
    $\quad$
  3. Un enfant regarde un film d'animation dont il ne connaît pas la durée. Sachant qu'il en a déjà vu une heure et demie, quelle est la probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent ?
  4. L’enfant a déjà vu $1$ h $30$ min du film soit $90$ min.
    S’il se termine dans les cinq minutes qui suivent cela signifie qu’il dure donc moins de $95$ min.
    On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{X \geq 90}(X \leq 95)&=\dfrac{P(90\leq X\leq 95)}{P(X \geq 90)} \\
    &=\dfrac{P(90 \leq X \leq 95)}{0,5-P(80\leq X \leq 90)}\\
    &\approx 0,62
    \end{align*}$
    La probabilité que le film se termine dans les cinq minutes qui suivent sachant qu’il en a déjà vu  une heure et demie est environ égale à $62\%$.
    $\quad$

Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on s'intéresse au volume d'une ampoule basse consommation.

Partie A - Modélisation de la forme de l'ampoule


Le plan est muni d'un repère orthonormé$\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On considère les points A$(-1~;~1)$, B$(0~;~1)$, C$(4~;~3)$, D$(7~;~0)$, E$(4~;~-3)$, F$(O~;~-1)$ et G$(- 1~;~- 1)$. On modélise la section de l'ampoule par un plan passant par son axe de révolution à l'aide de la figure ci-dessous :
Ex2
La partie de la courbe située au-dessus de l'axe des abscisses se décompose de la manière suivante:

  • la portion située entre les points A et B est la représentation graphique de la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[-1~;~0]$ par $h(x) = 1$ ;
  • la portion située entre les points B et C est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par $f(x) = a + b \sin \left(c + \frac{\pi}{4} x\right)$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels non nuls fixés et où le réel $c$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$ ;
  • la portion située entre les points C et D est un quart de cercle de diamètre [CE].

La partie de la courbe située en-dessous de l'axe des abscisses est obtenue par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

    1. On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~4]$, déterminer $f'(x)$.
    2. On impose que les tangentes aux points B et C à la représentation graphique de la fonction $f$ soient parallèles à l'axe des abscisses. Déterminer la valeur du réel $c$.
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$.

 

Partie B - Approximation du volume de l'ampoule


Par rotation de la figure précédente autour de l'axe des abscisses, on obtient un modèle de l'ampoule. Afin d'en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustré ci-dessous:
Ex2b
On rappelle que:

  • le volume d'un cylindre est donné par la formule $\pi r^2 h$ où $r$ est le rayon du disque de base et $h$ est la hauteur ;
  • le volume d'une boule de rayon $r$ est donné par la formule $\dfrac{4}{3}\pi r^3$.

On admet également que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~4]$, $f(x) = 2 - \cos \left(\frac{\pi}{4}x\right)$.

  1. Calculer le volume du cylindre de section le rectangle ABFG.
  2. Calculer le volume de la demi-sphère de section le demi -disque de diamètre [CE].
  3. Pour approcher le volume du solide de section la zone grisée BCEF, on partage le segment [OO$'$] en $n$ segments de même longueur $\dfrac{4}{n}$ puis on construit $n$ cylindres de même hauteur $\dfrac{4}{n}$.
    1. Cas particulier : dans cette question uniquement on choisit $n = 5$. Calculer le volume du troisième cylindre, grisé dans les figures ci-dessous, puis en donner la valeur arrondie à $10^{-2}$. Figure 3
      Ex2c

      Vue dans le plan \( (BCE)\).


      Ex2b

      Vue dans l'espace .

    2. Cas général : dans cette question, $n$ désigne un entier naturel quelconque non nul. On approche le volume du solide de section BCEF par la somme des volumes des $n$ cylindres ainsi créés en choisissant une valeur de $n$ suffisamment grande. Recopier et compléter l'algorithme suivant de sorte qu'à la fin de son exécution, la variable $V$ contienne la somme des volumes des $n$ cylindres créés lorsque l'on saisit $n$.
      $$\begin{array}{|ll|}\hline 1& V \gets 0 \\ 2& \text{Pour } k \text{ allant de } \ldots \text{ à } \ldots :\\ 3& \hspace{0.5cm}| V \gets \ldots \\ 4& \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$

Correction de l'exercice 2 (6 points)


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on s'intéresse au volume d'une ampoule basse consommation.

Partie A - Modélisation de la forme de l'ampoule


Le plan est muni d'un repère orthonormé$\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On considère les points A$(-1~;~1)$, B$(0~;~1)$, C$(4~;~3)$, D$(7~;~0)$, E$(4~;~-3)$, F$(O~;~-1)$ et G$(- 1~;~- 1)$. On modélise la section de l'ampoule par un plan passant par son axe de révolution à l'aide de la figure ci-dessous :
Ex2
La partie de la courbe située au-dessus de l'axe des abscisses se décompose de la manière suivante:

  • la portion située entre les points A et B est la représentation graphique de la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $[-1~;~0]$ par $h(x) = 1$ ;
  • la portion située entre les points B et C est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~4]$ par $f(x) = a + b \sin \left(c + \frac{\pi}{4} x\right)$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels non nuls fixés et où le réel $c$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$ ;
  • la portion située entre les points C et D est un quart de cercle de diamètre [CE].

La partie de la courbe située en-dessous de l'axe des abscisses est obtenue par symétrie par rapport à l'axe des abscisses.

    1. On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~4]$, déterminer $f'(x)$.
    2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;4]$  en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.
      $$f'(x)=b \times \dfrac{\pi}{4}\cos\left(c+\dfrac{\pi}{4}x\right)$$
      $\quad$
    3. On impose que les tangentes aux points B et C à la représentation graphique de la fonction $f$ soient parallèles à l'axe des abscisses. Déterminer la valeur du réel $c$.
    4. La tangente en $B$ est parallèle à l’axe des abscisses donc $f'(0)=0$. Par conséquent $f'(0)=b \times \dfrac{\pi}{4}\cos(c)=0$
      Cela signifie que $c=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
      On sait que $c$ appartient à l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ donc $c=\dfrac{\pi}{2}$.
      $\quad$
  1. Déterminer les réels $a$ et $b$.
  2. On a ainsi $f(x)=a+b\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}x\right)$.
    On sait que $f(0)=1$ donc $a+b=1$
    et que $f(4)=3$ soit $a+b\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\pi\right)=3\iff a-b=3$.
    On résout donc le système suivant :
    $\begin{align*} \begin{cases} a+b=1\\a-b=3 \end{cases} &\iff \begin{cases} a=1-b\\1-b-b=3\end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} a=1-b\\-2b=2 \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} b=-1\\a=2\end{cases} \end{align*}$
    $\quad$

 

Partie B - Approximation du volume de l'ampoule


Par rotation de la figure précédente autour de l'axe des abscisses, on obtient un modèle de l'ampoule. Afin d'en calculer le volume, on la décompose en trois parties comme illustré ci-dessous:
Ex2b
On rappelle que:

  • le volume d'un cylindre est donné par la formule $\pi r^2 h$ où $r$ est le rayon du disque de base et $h$ est la hauteur ;
  • le volume d'une boule de rayon $r$ est donné par la formule $\dfrac{4}{3}\pi r^3$.

On admet également que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~4]$, $f(x) = 2 - \cos \left(\frac{\pi}{4}x\right)$.

  1. Calculer le volume du cylindre de section le rectangle ABFG.
  2. $OB=1$ est le rayon du cylindre de section le rectangle $ABFG$.
    Sa hauteur est $AB=1$.
    Le volume de ce cylindre est $V_C=\pi\times OB^2\times AB=\pi$ unité de volume (u.v.).
    $\quad$
  3. Calculer le volume de la demi-sphère de section le demi -disque de diamètre [CE].
  4. Le rayon de la demi-boule est $R=\dfrac{1}{2}CE=\dfrac{1}{2}\times 6=3$.
    Le volume de la demi-boule est :
    $\begin{align*} V_B&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{3}\pi R^3 \\
    &=\dfrac{2}{3}\pi \times 3^3\\
    &=18\pi \text{u.v.}
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Pour approcher le volume du solide de section la zone grisée BCEF, on partage le segment [OO$'$] en $n$ segments de même longueur $\dfrac{4}{n}$ puis on construit $n$ cylindres de même hauteur $\dfrac{4}{n}$.
    1. Cas particulier : dans cette question uniquement on choisit $n = 5$. Calculer le volume du troisième cylindre, grisé dans les figures ci-dessous, puis en donner la valeur arrondie à $10^{-2}$. Figure 3
      Ex2c

      Vue dans le plan \( (BCE)\).


      Ex2b

      Vue dans l'espace .

    2. Le rayon du troisième cylindre est $R_3=f\left(\dfrac{8}{5}\right)$.
      Son volume est donc $V_3=\pi\times \left(f\left(\dfrac{8}{5}\right)\right)^2\times \dfrac{4}{5}=\dfrac{16\pi}{5} \approx 7,19$ u.v. .
      $\quad$
    3. Cas général : dans cette question, $n$ désigne un entier naturel quelconque non nul. On approche le volume du solide de section BCEF par la somme des volumes des $n$ cylindres ainsi créés en choisissant une valeur de $n$ suffisamment grande. Recopier et compléter l'algorithme suivant de sorte qu'à la fin de son exécution, la variable $V$ contienne la somme des volumes des $n$ cylindres créés lorsque l'on saisit $n$.
      $$\begin{array}{|ll|}\hline 1& V \gets 0 \\ 2& \text{Pour } k \text{ allant de } \ldots \text{ à } \ldots :\\ 3& \hspace{0.5cm}| V \gets \ldots \\ 4& \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$
    4. On obtient l’algorithme suivant :
      $$\begin{array}{|ll|}\hline 1& V \gets 0 \\ 2& \text{Pour } k \text{ allant de } 0 \text{ à } n-1 :\\ 3& \hspace{0.5cm}| V \gets V+\pi\times \left(2-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\times \dfrac{k*4}{n}\right)\right)^2\times \dfrac{4}{n} \\ 4& \text{Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$

Exercice 3 4 points


Fonctions


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) = k\text{e}^{-kx}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif. On appelle $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On considère le point A de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 0 et le point B de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1. Le point C a pour coordonnées $(1~;~0)$.

  1. Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
  2. Exprimer, en fonction de $k$, l'aire du triangle OCB et celle du domaine $\mathcal{D}$ délimité par l'axe des ordonnées, la courbe $\mathcal{C}_f$ et le segment [OB].
  3. Montrer qu'il existe une unique valeur du réel $k$ strictement positive telle que l'aire du domaine $\mathcal{D}$ vaut le double de celle du triangle OCB.

 


Correction de l'exercice 3 (4 points)


Commun à tous les candidats

Fonctions


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $f(x) = k\text{e}^{-kx}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif. On appelle $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On considère le point A de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 0 et le point B de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1. Le point C a pour coordonnées $(1~;~0)$.

  1. Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
  2. Une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=-\text{e}^{-kx}$.
    $\quad$
  3. Exprimer, en fonction de $k$, l'aire du triangle OCB et celle du domaine $\mathcal{D}$ délimité par l'axe des ordonnées, la courbe $\mathcal{C}_f$ et le segment [OB].
  4. On a $BC=f(1)=k\text{e}^{-k}$.
    L’aire du triangle $OBC$ est donc $V_1=\dfrac{1\times k\text{e}^{-k}}{2}=\dfrac{k\text{e}^{-k}}{2}$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    L’aire du domaine $\mathscr{D}$ est donc :
    $\begin{align*} V_2&=\displaystyle \int_0^1 f(x)\text{d}x-V_1 \\
    &=F(1)-F(0)-\dfrac{k\text{e}^{-k}}{2} \\
    &=1-\text{e}^{-k}-\dfrac{k\text{e}^{-k}}{2} \\
    &=1-\dfrac{(2+k)\text{e}^{-k}}{2} \\
    \end{align*}$
    $\quad$
  5. Montrer qu'il existe une unique valeur du réel $k$ strictement positive telle que l'aire du domaine $\mathcal{D}$ vaut le double de celle du triangle OCB.
  6. On veut résoudre l’équation
    $ 1-\text{e}^{-k}-\dfrac{k\text{e}^{-k}}{2}=k\text{e}^{-k} \iff 1-\text{e}^{-k}-\dfrac{3k}{2}\text{e}^{-k} = 0 $
    On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=1-\text{e}^{-x}-\dfrac{3x}{2}\text{e}^{-x}$
    La fonction $g$ est continue sur $]0;+\infty[$ comme somme et produit de fonctions continues sur cet intervalle.
    Elle est également dérivable sur cet intervalle comme somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\text{e}^{-x}-\dfrac{3}{2}\text{e}^{-x}+\dfrac{3x}{2}\text{e}^{-x} \\
    &=\dfrac{-1+3x}{2}\text{e}^{-x}
    \end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-1+3x$.
    Or $-1+3x=0 \iff x=\dfrac{1}{3}$
    Et $-1+3x>0 \iff x>\dfrac{1}{3}$
    On obtient le tableau de variation suivant :
    tabvar
    $1-\text{e}^{-0}-\dfrac{3\times 0}{2}\text{e}^{-0}=0$ donc $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x)=0$.
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^X=0$.
    Donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x}=0$
    $\lim\limits_{x \to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} X\text{e}^X=0$.
    Donc  $\lim\limits_{x \to +\infty} -x\text{e}^{-x}=0$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=1$.
    $g\left(\dfrac{1}{3}\right) \approx -0,07$.
    $\quad$
    Sur l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{3}\right]$ on a $g(x)<0$.
    L’équation $g(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$, la fonction $g$ est continue et strictement croissante.
    $g\left(\dfrac{1}{3}\right)<0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=1>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    L’équation $g(x)=0$ possède donc une unique solution sur l’intervalle $]0;+\infty$.
    Par conséquent il existe une unique valeur du réel $k$ strictement positive telle que l’aire du domaine $\mathscr{D}$ vaut le double de celle du triangle $OCB$.
    $\quad$

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier. À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.
Soit $n$ un entier naturel.
On note $a_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie A à l'étape $n$».
On note $b_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie B à l'étape $n $».
On note $c_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie C à l'étape $n $».
À l'étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A. Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant : $$\left\{\begin{array}{l c r} a_{n+1}&=&\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{4} b_n \phantom{+ \frac{2}{3}c_n}\\ b_{n+1}&=&\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2} b_n + \frac{2}{3}c_n\\ c_{n+1}&=&\frac{1}{4}b_n + \frac{1}{4} c_n \end{array}\right.$$
L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

Partie A


À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 & n & a_n & b_n & c_n \\ \hline 2 &0 & 1 &0 &0\\ \hline 3 &1 &0,333 &0,667 &0\\ \hline 4 &2 &0,278 &0,556 &0,167\\ \hline 5 &3 &0,231 &0,574 &0,194\\ \hline 6 &4 &0,221 &0,571 &0,208\\ \hline 7 &5 &0,216 &0,572 &0,212\\ \hline 8 &6 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline 9 &7 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline 10 &8 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline 11 &9 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline 12 &10 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline \end{array}$$

  1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
  2. Quelle conjecture peut-on émettre ?

 

Partie B

 

  1. On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
    2. Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
    1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.
    2. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
  3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n, \quad b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n \quad \text{et} \quad c_{n} = \dfrac{3}{14} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n.$$
  4. Que peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d'étapes ?

 


Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier. À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.
Soit $n$ un entier naturel.
On note $a_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie A à l'étape $n$».
On note $b_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie B à l'étape $n $».
On note $c_n$ la probabilité de l'évènement :« le lapin est dans la galerie C à l'étape $n $».
À l'étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A. Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant : $$\left\{\begin{array}{l c r} a_{n+1}&=&\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{4} b_n \phantom{+ \frac{2}{3}c_n}\\ b_{n+1}&=&\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2} b_n + \frac{2}{3}c_n\\ c_{n+1}&=&\frac{1}{4}b_n + \frac{1}{4} c_n \end{array}\right.$$
L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

Partie A


À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant: $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D\\ \hline 1 & n & a_n & b_n & c_n \\ \hline 2 &0 & 1 &0 &0\\ \hline 3 &1 &0,333 &0,667 &0\\ \hline 4 &2 &0,278 &0,556 &0,167\\ \hline 5 &3 &0,231 &0,574 &0,194\\ \hline 6 &4 &0,221 &0,571 &0,208\\ \hline 7 &5 &0,216 &0,572 &0,212\\ \hline 8 &6 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline 9 &7 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline 10 &8 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline 11 &9 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline 12 &10 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline \end{array}$$

  1. Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
  2. On a pu écrire : $=2*B2/3+C2/2+2*D2/3$.
  3. Quelle conjecture peut-on émettre ?
  4. Il semblerait les suites $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$ convergent vers des limites dont des valeurs approchées sont respectivement $0,214$, $0,571$ et $0,214$.
    $\quad$

 

Partie B

 

  1. On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=a_n-c_n$.
      $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-c_{n+1} \\
      &=\dfrac{1}{3}a_n+\dfrac{1}{4}b_n-\left(\dfrac{1}{4}b_n+\dfrac{1}{3}c_n\right) \\
      &=\dfrac{1}{3}a_n-\dfrac{1}{3}c_n \\
      &=\dfrac{1}{3}\left(a_n-c_n\right) \\
      &=\dfrac{1}{3}u_n
      \end{align*}$
      La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme  $u_0=a_0-c_0=1$.
      $\quad$
    3. Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    4. Pour tout entier naturel $n$ on a alors $u_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.
      $\quad$
  2. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
    1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.
    2. Le lapin ne peut aller que dans $3$ galeries.
      Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n+b_n+c_n=1$.
      Par conséquent $a_n+c_n=1-b_n$.
      $\quad$
      On a $v_n=b_n-\dfrac{4}{7} \iff b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$.
      $\begin{align*} v_{n+1}&=b_{n+1}-\dfrac{4}{7} \\
      &=\dfrac{2}{3}a_n+\dfrac{1}{2}b_n+\dfrac{2}{3}c_n-\dfrac{4}{7} \\
      &=\dfrac{2}{3}\left(a_n+c_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
      &=\dfrac{2}{3}\left(1-b_n\right)+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
      &=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}b_n+\dfrac{1}{2}b_n-\dfrac{4}{7} \\
      &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}b_n \\
      &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}\left(v_n+\dfrac{4}{7}\right) \\
      &=\dfrac{2}{21}-\dfrac{1}{6}v_n-\dfrac{2}{21} \\
      &=-\dfrac{1}{6}v_n
      \end{align*}$
      $\quad$
    3. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    4. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{6}$ et de premier terme $v_0=b_0-\dfrac{4}{7}=-\dfrac{4}{7}$.
      Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
      $\quad$
  3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a : $$ a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n, \quad b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n \quad \text{et} \quad c_{n} = \dfrac{3}{14} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n.$$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}=\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n$.
    On a $(S)\iff \begin{cases} a_n-c_n=u_n\\a_n+c_n+b_n=1 \end{cases}$.
    En ajoutant les deux lignes on a : $2a_n=u_n+1-b_n \iff a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}$.
    Donc $(S) \iff \begin{cases} a_n=\dfrac{u_n+1-b_n}{2}\\c_n=1-a_n-b_n \end{cases}$.
    Par conséquent
    $$\begin{array}{ll} a_n &=\dfrac{u_n+1-b_n}{2} \\ &=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+1-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n}{2} \\ &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{7}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{4}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\ &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \end{array}$$ $\quad$ $$\begin{array} {ll} c_n&=1-a_n-b_n \\ &=1-\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{3}{14}+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n+\dfrac{4}{7}-\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n\right) \\ &=1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-\dfrac{3}{14}-\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n-\dfrac{4}{7}+\dfrac{4}{7}\times \left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \\ &=\dfrac{3}{14}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n+\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n \end{array}$$
    $\quad$
  5. Que peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d'étapes ?
  6. On a $-1<\dfrac{1}{3}<1$ et $-1<-\dfrac{1}{6}<1$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\dfrac{1}{6}\right)^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=\dfrac{3}{14}$,  $\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=\dfrac{4}{7}$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} c_n=\dfrac{3}{14}$.
    Après un très grand nombre d’étapes, la probabilité que le lapin soit dans la galerie A est $\dfrac{3}{14}$, dans la galerie B est $\dfrac{4}{7}$ et dans la galerie C est $\dfrac{3}{14}$.

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Un atome d'hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l'état stable et l'état excité. À chaque nanoseconde, l'atome peut changer d'état.

Partie A - Étude d'un premier milieu


Dans cette partie, on se place dans un premier milieu (milieu 1) où, à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est $0,005$, et la probabilité qu'il passe de l'état excité à l'état stable est $0,6$. On observe un atome d'hydrogène initialement à l'état stable. On note $a_n$ la probabilité que l'atome soit dans un état stable et $b_n$ la probabilité qu'il se trouve dans un état excité, $n$ nanosecondes après le début de l'observation. On a donc $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$. On appelle $X_n$ la matrice ligne $X_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. L'objectif est de savoir dans quel état se trouvera l'atome d'hydrogène à long terme.

  1. Calculer $a_1$ puis $b_1$ et montrer que $a_2 = 0,993\;025 $ et $b_2 = 0,006\;975 $.
  2. Déterminer la matrice $A$ telle que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_{n+1} = X_n A$. $A$ est appelée matrice de transition dans le milieu 1. On admet alors que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = X_0A^n$.
  3. On définit la matrice $P$ par $P = \begin{pmatrix}1&-1\\ 1&120\end{pmatrix}$. On admet que $P$ est inversible et que \[P^{-1} = \dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120&1\\- 1&1\end{pmatrix}.\] Déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$.
  4. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = P D^n P^{-1}$.
  5. On admet par la suite que, pour tout entier naturel $n$, \[A^n = \dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120 + 0,395^n&1 - 0,395^n\\120\left(1 - 0,395^n\right)&1 + 120 \times 0,395^n\end{pmatrix}.\] En déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$.
  6. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Conclure.

 

Partie B - Étude d'un second milieu


Dans cette partie, on se place dans un second milieu (milieu 2), dans lequel on ne connaît pas la probabilité que l'atome passe de l'état excité à l'état stable. On note $a$ cette probabilité supposée constante. On sait, en revanche, qu'à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est $0,01$.

  1. Donner, en fonction de $a$, la matrice de transition $M$ dans le milieu 2.
  2. Après un temps très long, dans le milieu 2, la proportion d'atomes excités se stabilise autour de 2%. On admet qu'il existe un unique vecteur $X$, appelé état stationnaire, tel que $XM = X$, et que $X = \begin{pmatrix}0,98& 0,02\end{pmatrix}$. Déterminer la valeur de $a$.

 


Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Un atome d'hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l'état stable et l'état excité. À chaque nanoseconde, l'atome peut changer d'état.

Partie A - Étude d'un premier milieu


Dans cette partie, on se place dans un premier milieu (milieu 1) où, à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est $0,005$, et la probabilité qu'il passe de l'état excité à l'état stable est $0,6$. On observe un atome d'hydrogène initialement à l'état stable. On note $a_n$ la probabilité que l'atome soit dans un état stable et $b_n$ la probabilité qu'il se trouve dans un état excité, $n$ nanosecondes après le début de l'observation. On a donc $a_0 = 1$ et $b_0 = 0$. On appelle $X_n$ la matrice ligne $X_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$. L'objectif est de savoir dans quel état se trouvera l'atome d'hydrogène à long terme.

  1. Calculer $a_1$ puis $b_1$ et montrer que $a_2 = 0,993\;025 $ et $b_2 = 0,006\;975 $.
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $\begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n \\b_{n+1}=1-a_{n+1} \end{cases}$
    Donc $a_1=0,995a_n+0,6b_n=0,995$ et $b_1=1-a_n=0,005$.
    $a_2=0,995a_1+0,6b_n=0,993~025$ et $b_2=1-a_n=006~975$.
    $\quad$
  3. Déterminer la matrice $A$ telle que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_{n+1} = X_n A$. $A$ est appelée matrice de transition dans le milieu 1. On admet alors que, pour tout entier naturel $n$, $X_n = X_0A^n$.
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n \\b_{n+1}=1-a_{n+1} \end{cases} \iff \begin{cases} a_{n+1}=0,995a_n+0,6b_n\\b_{n+1}=0,005a_n+0,4b_n \end{cases} $
    Donc $A=\begin{pmatrix} 0,995&0,005\\0,6&0,4 \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  5. On définit la matrice $P$ par $P = \begin{pmatrix}1&-1\\ 1&120\end{pmatrix}$. On admet que $P$ est inversible et que \[P^{-1} = \dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120&1\\- 1&1\end{pmatrix}.\] Déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$.
  6. On a $P^{-1}A=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix} 120&1\\-0,395&0,395\end{pmatrix}$
    Donc $D=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&0\\0&0,395\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  7. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $A^n = P D^n P^{-1}$.
  8. Montrons la propriété par récurrence.
    Initialisation : Si $n=0$ alors $A^0=I_2$ et $PD^0P^{-1}=I_2=A^0$ où $I_2$ est la matrice identité de taille $2$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $p$ : $A^p=PD^pP^{-1}$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $p+1$, c’est-à-dire que $A^{p+1}=PD^{p+1}P^{-1}$.
    $\begin{align*} A^{p+1}&=A\times A^p \\
    &=PDP^{-1}PD^pP^{-1} \\
    &=PD^{p+1}P^{-1}
    \end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $p+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $A_n=PD^nP^{-1}$.
    $\quad$
  9. On admet par la suite que, pour tout entier naturel $n$, \[A^n = \dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120 + 0,395^n&1 - 0,395^n\\120\left(1 - 0,395^n\right)&1 + 120 \times 0,395^n\end{pmatrix}.\] En déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$.
  10. On a, pour tout entier naturel $n$ :
    $X_n=X_0A^n=\dfrac{1}{121}\begin{pmatrix}120+0,395^n&1-0,395^n\end{pmatrix}$
    Par conséquent $a_n=\dfrac{120+0,395^n}{121}$.
    $\quad$
  11. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Conclure.
  12. $-1<0,395<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,395^n=0$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=\dfrac{120}{121}$.
    Sur le long terme, la probabilité qu’un atome soit dans un état stable est $\dfrac{120}{121}$.
    $\quad$

 

Partie B - Étude d'un second milieu


Dans cette partie, on se place dans un second milieu (milieu 2), dans lequel on ne connaît pas la probabilité que l'atome passe de l'état excité à l'état stable. On note $a$ cette probabilité supposée constante. On sait, en revanche, qu'à chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est $0,01$.

  1. Donner, en fonction de $a$, la matrice de transition $M$ dans le milieu 2.
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc :
    $\begin{cases} a_{n+1}=0,99a_n+\alpha b_n+ \\0,01a_n+(1-\alpha)b_n\end{cases}$.
    La matrice de transition dans le milieu 2 est donc $M=\begin{pmatrix} 0,99 &0,01\\\alpha&1-\alpha \end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Après un temps très long, dans le milieu 2, la proportion d'atomes excités se stabilise autour de 2%. On admet qu'il existe un unique vecteur $X$, appelé état stationnaire, tel que $XM = X$, et que $X = \begin{pmatrix}0,98& 0,02\end{pmatrix}$. Déterminer la valeur de $a$.
  4. On a :
    $\begin{align*} XM=X &\iff \begin{cases} 0,98=0,98\times 0,99+0,02\alpha \\0,02=0,98\times 0,01+0,02(1-\alpha) \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} 0,98=0,970~2+0,02\alpha\\0,02=0,0098+0,02-0,02\alpha \end{cases} \\
    &\iff 0,0098=0,02\alpha\\
    &\iff \alpha=0,49
    \end{align*}$
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