Baccalauréat S Asie 21 juin 2018 - Spécialité

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On s'intéresse à la figure suivante, dans laquelle $a$, $b$ et $c$ désignent les longueurs des hypoténuses des trois triangles rectangles en O dessinés ci-dessous.
Spe
Problème :on cherche les couples de nombres entiers naturels non nuls $(u,~v)$ tels que $ab = c$.

  1. Modélisation Démontrer que les solutions du problème sont des solutions de l'équation : \[(E) :\quad v^2 - 2u^2 = 1\quad (v \text{ et }\: u \: \text{ étant des entiers naturels non nuls}).\]
  2. Recherche systématique de solutions de l'équation $(E)$ Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche au cours de son exécution tous les couples solutions de l'équation pour lesquels $1 \leqslant u \leqslant 1\;000 $ et $1 \leqslant v \leqslant 1\;000 $. $$\begin{array}{ |l |l| }\hline \text{Pour } u \text{ allant de 1 à } \ldots \text{ faire }& \text{ Au cours de son exécution,}\\ \hspace{0.5cm}\text{Pour } \ldots& \text{ l'algorthme affiche : }\\ \hspace{1cm}\text{ Si }\ldots& 2 \quad 3\\ \hspace{1.5cm}\text{Afficher } u \text{ et } v &12 \quad 17\\ \hspace{1cm}\text{ Fin Si } &70 \quad 99\\ \hspace{0.5cm}\text{ Fin Pour }&408 \quad 577\\ \text{Fin Pour }&\\ \hline \end{array}$$
  3. Analyse des solutions éventuelles de l'équation $(E)$ On suppose que le couple $(u,~v)$ est une solution de l'équation $(E)$.
    1. Établir que $u < v$.
    2. Démontrer que $n$ et $n^2$ ont la même parité pour tout entier naturel $n$.
    3. Démontrer que $v$ est un nombre impair.
    4. Établir que $2u^2 =(v-1)(v+1)$. En déduire que $u$ est un nombre pair.
  4. Une famille de solutions On assimile un couple de nombres entiers $(u,~v)$ à la matrice colonne $X = \begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}$. On définit également la matrice $A = \begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}$.
    1. Démontrer que si une matrice colonne $X$ est une solution de l'équation $(E)$, alors $AX$ est aussi une solution de l'équation $(E)$.
    2. Démontrer que si une matrice colonne $X$ est une solution de l'équation $(E)$, alors pour tout entier naturel $n$,  $A^n X$ est aussi une solution de l'équation $(E)$.
    3. À l'aide de la calculatrice, donner un couple $(u,~v)$ solution de l'équation $(E)$ tel que $v > 1\;0000 $.
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