Baccalauréat S Asie 21 juin 2018 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)


Commun à tous les candidats

 


Une ferme aquatique exploite une population de crevettes qui évolue en fonction de la reproduction naturelle et des prélèvements effectués. La masse initiale de celte population de crevettes est estimée à $100$ tonnes. Compte tenu des conditions de reproduction et de prélèvement, on modélise la masse de la population de crevettes, exprimée en tonne, en fonction du temps, exprimé en semaine, par la fonction $f_P$, définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : \[f_P(t) = \dfrac{100p}{1 - (1 - p)\text{e}^{- pt}}\] où $p$ est un paramètre strictement compris entre $0$ et $1$ et qui dépend des différentes conditions de vie et d'exploitation des crevettes.

  1. Cohérence du modèle
    1. Calculer $f_p(0)$.
    2. $f_p(0)=\dfrac{100p}{1-(1-p)}=\dfrac{100p}{p}=100$.
      $\quad$
    3. On rappelle que $0 < p < 1$. Démontrer que pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, $1 - (1 - p)\text{e}^{- pt} \geqslant p$.
    4. Pour tout nombre réel $t \geq 0$ on a $-pt\leq 0$ donc $0 < \text{e}^{-pt} \leq 1$.
      Par conséquent $ 0 < (1-p)\text{e}^{-pt} \leq 1-p$
      Ainsi $-(1-p)\text{e}^{-pt} \geq p-1$
      On obtient alors $1-(1-p)\text{e}^{-pt} \geq p$.
      $\quad$
    5. En déduire que pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, $0 < f_P(t) \leqslant 100$.
    6. Pour tout nombre réel $t \geq 0$ on a :
      $\begin{align*} 1-(1-p)\text{e}^{-pt} \geq p &\iff 0< \dfrac{1}{1-(1-p)\text{e}^{-pt}} \leq \dfrac{1}{p} \\
      &=0 < f_p(t) \leq 100 \end{align*}$
      $\quad$
  2. Étude de l'évolution lorsque $p = 0,9$ Dans cette question, on prend $p = 0,9$ et on étudie la fonction $f_{0.9}$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par : \[f_{0,9}(t) = \dfrac{90}{1 - 0,1 \text{e}^{- 0,9t}}.\]
    1. Déterminer les variations de la fonction $f_{0.9}$.
    2. La fonction $t \mapsto -0,9t$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
      La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$. Donc la fonction $t \mapsto \text{e}^{-0,9t}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
      Par conséquent la fonction $t\mapsto 1-0,1\text{e}^{-0,9t}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
      Finalement la fonction $f_{0,9}$ est décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
      Remarque : On peut évidemment dériver cette fonction pour étudier ses variations.
      $\quad$
    3. Démontrer pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, $f_{0,9}(t) \geqslant 90$.
    4. $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,9t=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} \text{e}^{-0,9t}=0$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-0,9t}=0$.
      Par conséquent $\lim\limits_{t\to +\infty} f_{0,9}(t)=90$.
      D’après la question précédente, la fonction $f_{0,9}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
      Cela signifie donc que, pour tout nombre $t\geq 0$ on a $f_{0,9}(t) \geq 90$.
      $\quad$
    5. Interpréter les résultats des questions 2. a. et 2. b. dans le contexte.
    6. La masse de cette population de crevettes va continuelle décroître mais sera toujours supérieure à $90$ tonnes.
      $\quad$
  3. Retour au cas général On rappelle que $0 < p < 1$. Exprimer en fonction de $p$ la limite de $f_P$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.
  4. Pour tout réel $p$ vérifiant $0<p<1$ on a
    $\lim\limits_{t \to +\infty} -pt=-\infty$ et $\lim\limits_{T \to -\infty} \text{e}^{-pt}=0$ donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-pt}=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{t \to +\infty} 1-(1-p)\text{e}^{-pt}=1$
    Et $\lim\limits_{t \to +\infty} f_p(t)=100p$.
    $\quad$
  5. Dans cette question, on prend $p = \dfrac{1}{2}$.
    1. Montrer que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par: \[H(t) = 100\ln \left(2 - \text{e}^{- \frac{t}{2}}\right) + 50t\] est une primitive de la fonction $f_{1/2}$ sur cet intervalle.
    2. La fonction $H$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
      $$\begin{array} {ll} H'(t)&=100\times \dfrac{-\left(-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-t/2}\right)}{2-\text{e}^{-t/2}}+50 \\ &=\dfrac{50\text{e}^{-t/2}+50\left(2-\text{e}^{-t/2}\right)}{2-\text{e}^{-t/2} }\\ &=\dfrac{100}{2-\text{e}^{-t/2}} \\ &=\dfrac{50}{1-0,5\text{e}^{-t/2}}\\ & =f_{1/2}(t) \end{array}$$
      Pour tout nombre réel $t \geq 0$ on a $\text{e}^{0,5t}-0,5 > 0$
      Ainsi une primitive de la fonction $f_{1/2}$ est la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par :
      $\begin{align*} F(t)&=100\ln\left(\text{e}^{0,5t}-0,5\right) \\
      &=100\ln\left(\text{e}^{0,5t}\left(1-0,5\text{e}^{-0,5t}\right)\right)\\
      &=100\ln\left(\text{e}^{0,5t}\right)+100\ln\left(1-0,5\text{e}^{-0,5t}\right)\\
      &=50t+100\ln\left(\dfrac{2-\text{e}^{-0,5t}}{2}\right) \\
      &=50t+100\ln\left(2-\text{e}^{-0,5t}\right)-100\ln(2) \\
      &=H(t)-100\ln(2)
      \end{align*}$
      La fonction $H$ est donc une primitive de la fonction $f_{1/2}$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
      $\quad$
    3. En déduire la masse moyenne de crevettes lors des 5 premières semaines d'exploitation, c'est-à-dire la valeur moyenne de la fonction $f_{1/2}$ sur l'intervalle $[0~;~5]$. En donner une valeur approchée arrondie à la tonne.
    4. La masse moyenne cherchée est :
      $\begin{align*} \displaystyle m&=\dfrac{1}{5-0}\int_0^5 f_{1/2}(t)\text{d}t \\
      &=\dfrac{1}{5}\left(H(5)-H(0)\right) \\
      &=\dfrac{1}{5}\left(100\ln\left(2-\text{e}^{-2,5}\right)+250\right) \\
      &=20\ln\left(2-\text{e}^{-2,5}\right)+50\\
      &\approx 63
      \end{align*}$
      $\quad$
Exercice 2
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