Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \text{e} \times \sqrt{u_n}.\]

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \[1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2.\]
  2. Initialisation : On a $u_0=1 \leq \text{e}^2$ puisque $\text{e}^2 \approx 7,39$.
    Ainsi $1 \leq u_n \leq \text{e}^2$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\leq u_n \leq \text{e}^2$.
    Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\leq u_n \leq \text{e}^2$.
    On a :
    $\begin{align*} 1\leq u_n \leq \text{e}^2 &\iff 1 \leq \sqrt{u_n} \leq \text{e} \\
    &\iff \text{e}\leq \text{e} \times \sqrt{u_n} \leq \text{e}^2 \end{align*}$
    Or $1 \leq \text{e}$.
    Donc $1 \leq u_{n+1} \leq \text{e}^2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\leq u_n \leq \text{e}^2$.
    $\quad$
    1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
      $\begin{align*}u_{n+1}-u_n &=\text{e}\times \sqrt{u_n}-u_n \\
      &=\sqrt{u_n}\left(\text{e}-\sqrt{u_n}\right)
      \end{align*}$
      On sait que $u_n \leq\text{e}^2$ donc $\sqrt{u_n} \leq\text{e}$.
      Par conséquent $u_{n+1}-u_n \geq 0$.
      La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
      $\quad$
    3. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
    4. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\text{e}^2$. Elle converge donc.
      $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, on pose \[v_n = \ln \left(u_n\right) - 2.\]
    1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
      $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right)-2 \\
      &=\ln\left(\text{e} \times \sqrt{u_n}\right)-2 \\
      &=\ln \text{e}+\ln\left(\sqrt{u_n}\right)-2 \\
      &=1+\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-2 \\
      &=\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-1\\
      &=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(u_n\right)-2\right) \\
      &=\dfrac{1}{2}v_n
      \end{align*}$
      La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=-2$.
      $\quad$
    3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[v_n = - \dfrac{1}{2^{n-1}}.\]
    4. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
      $v_n=-2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=-\dfrac{2}{2^n}=-\dfrac{1}{2^{n-1}}$.
      $\quad$
    5. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
    6. Pour tout entier naturel $n$ on a :
      $\begin{align*} v_n=\ln\left(u_n\right)-2 &\iff v_n+2=\ln\left(u_n\right) \\
      &\iff u_n=\text{e}^{v_n+2}
      \end{align*}$
      Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\text{e}^{-\frac{1}{2^{n-1}}+2}$
      $\quad$
    7. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    8. On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}}=0$.
      Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\text{e}^2$.
  4. Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour $u_0$. Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.
    •  Affirmation 1 : « Si $u_0 = 2\,018 $, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. »
    • Affirmation 1 :fausse
      On a $u_0=2~018$ et $u_1=\text{e}\times \sqrt{2~018} \approx 122 < u_0$.
      $\quad$
    • Affirmation 2 : « Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2$. »
    • Affirmation 2 : vraie
      On a $u_0=2$ donc $1 \leq u_0 \leq\text{e}^2$.
      On peut donc reprendre l’hérédité du raisonnement par récurrence de la question 1.
      $\quad$
    • Affirmation 3 : « La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si $u_0 = 0$. »
    • Affirmation 3 :fausse
      La suite est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n$ soit $\text{e}\times \sqrt{u_n}=u_n$.
      On est donc ramené à résoudre l’équation $x=\text{e}\times \sqrt{x}$
      Soit $x^2=x\text{e}^2$
      Ainsi $x^2-x\text{e}^2=0$
      D’où $x\left(x-\text{e}^2\right)=0$.
      Cette équation possède deux solutions $0$ et $\text{e}^2$.
      Si on choisit $u_0=\text{e}^2$ alors $u_1=\text{e}\times \sqrt{\text{e}^2}=\text{e}\times \text{e}=\text{e}^2$ et la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
      $\quad$

 

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