Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \text{e} \times \sqrt{u_n}.\]

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \[1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2.\]
2. 1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   2. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose \[v_n = \ln \left(u_n\right) - 2.\]
   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[v_n = - \dfrac{1}{2^{n-1}}.\]
   3. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
   4. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
4. Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour $u_0$. Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.
   
   •  Affirmation 1 : « Si $u_0 = 2\,018 $, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. »
   • Affirmation 2 : « Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2$. »
   • Affirmation 3 : « La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si $u_0 = 0$. »