Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 1$, $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+2} = 6u_{n+1} - 8u_n.\]

1. Calculer $u_2$ et $u_3$ .
On a $u_0=1$, $u_1=6$ et $u_{n+2}=6u_{n+1}-8u_n$
alors $u_2=6u_1-8u_0=28$ et $u_3=6u_2-8u_1=120$
$\quad$
2. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}$ et la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_{n+1} = AU_n$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$AU_n=\begin{pmatrix}0&1\\-8&6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_{n+1}\\-8u_n+6u_{n+1}\end{pmatrix}=U_{n+1}$
$\quad$
3. On considère de plus les matrices $B = \begin{pmatrix}2&-0,5\\4&- 1\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}- 1&0,5\\- 4&2\end{pmatrix}$.
   1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $A^n = 2^nB + 4^nC$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $2^0B+4^0C=B+C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=A^0$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=2^nB+4^nC$.
   Montrons que la propriété est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $A^{n+1}=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
   $\begin{align*} A^{n+1}&=A\times A^n \\
   &=A\left(2^nB+4^nC\right) \\
   &=2^nA\times B+4^nA\times C\end{align*}$
   Or $AB=\begin{pmatrix}4&-1\\8&-2\end{pmatrix}=2B$
   et $AC=\begin{pmatrix}-4&2\\16&8\end{pmatrix}=4C$
   Par conséquent $A^{n+1}=2^n\times 2B+4^n\times 4C=2^{n+1}B+4^{n+1}C$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n=2^nB+4^nC$.
   $\quad$
   
   2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $U_n = A^nU_0$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2 \times 4^n - 2^n$.
   On sait que $U_0=\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=A^nU_0=2^nBU_0+4^nCU_0$
   Or $BU_0=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ et $CU_0=\begin{pmatrix}2\\8\end{pmatrix}$
   Par conséquent, $U_n=\begin{pmatrix}2^n+2\times 4^n\\-2^{n+1}+8\times 4^n\end{pmatrix}$
   Donc $u_n=2^n+2\times 4^n$ pour tout entier naturel $n$.
   $\quad$

Partie B

On dit qu'un entier naturel $N$ est parfait lorsque la somme de ses diviseurs (positifs) est égale à $2N$. Par exemple, 6 est un nombre parfait car ses diviseurs sont 1, 2, 3 et 6 et on a : $1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6$. Dans cette partie, on cherche des nombres parfaits parmi les termes de la suite $\left(u_n\right)$ étudiée dans la partie A.

1. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = 2^np_n$ avec $p_n = 2^{n+1} - 1$.
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$2^np_n=2^n\left(2^{n+1}-1\right)=2^{2n+1}-2^n=2\times 2^{2n}-2^n=2\times 4^n-2^n$.
$\quad$
2. On considère l'algorithme suivant où $N$, $S$, $U$, $P$ et $K$ sont des entiers naturels. $$ \begin{array}{|l|}\hline S\gets 0 \\ ~\\ \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N \\ P \gets 2^{N+1} - 1 \\ U \gets 2^N P \\ ~\\ \text{ Pour } K \text{ variant de } 1 \text{ à } U \\ \hspace{0.6cm}\text{ Si } \frac{U}{K} \text{ est un nombre entier }\\ \hspace{1.1cm} S \gets S + K \\ \hspace{0.6cm} \text{ Fin Si }\\ \text{ Fin Pour }\\ ~\\ \text{ Si } S = 2U \\ \hspace{0.6cm} \text{ Afficher } « \text{ oui } »\\ Sinon\\ \hspace{0.6cm}\text{ Afficher } « \text{ non } »\\ \text{Fin Si }\\ \hline \end{array}$$
   1. À quelle question permet de répondre cet algorithme ? Compléter, sans justification, les cases vides du tableau donné en annexe. Il n'est pas demandé au candidat de programmer l'algorithme.
   Dans $S$ on a stocké la somme des diviseurs entiers positifs de $U$.
   On teste si $S=2U$, c’est-à-dire si $U$ est un nombre parfait.
   L’algorithme permet donc de déterminer si, pour un entier naturel $N$ donné, le nombre $2^N\left(2^{n+1}-1\right)$ est parfait, c’est-à-dire, par conséquent, si $u_N$ est un nombre parfait.
   $\quad$
   On obtient le tableau suivant :
   $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
   \hline
   N&P&U&S&\text{Affichage final}\\
   \hline
   0&1&1&1&\text{non}\\
   \hline
   1&3&6&12&\text{oui}\\
   \hline
   2&7&28&56&\text{oui}\\
   \hline
   3&15&120&360&\text{non}\\
   \hline
   4&31&496&992&\text{oui}\\
   \hline
   5&63&2~016&6~552&\text{non}\\
   \hline
   6&127&8~128&16~256&\text{oui}\\
   \hline
   \end{array}$$
   $\quad$
   
   2. Faire une conjecture donnant une condition suffisante sur $P$ pour que l'algorithme affiche « oui ».
   Il semblerait que si $P$ est un nombre premier alors l’algorithme affiche “oui”.
   $\quad$
3. Dans cette question, on suppose que $p_n$ est un nombre premier. On note $S_n$ la somme des diviseurs de $u_n$.
   1. Montrer que $S_n = \left(1 + p_n\right)p_n$.
   On a $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
   Les seuls diviseurs de $u_n$ sont donc de la forme $2^k$ et $2^kp_n$ avec $k\in \left\{0;1;\ldots;n\right\}$.
   Par conséquent
   $\begin{align*} S_n&=2^0+2^1+\ldots+2^n+p_n+2p_n+2^2p_n+\ldots+2^np_n \\
   &=\left(2^0+2^1+\ldots +2^n\right)\left(1+p_n\right) \\
   &=\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\left(1+p_n\right) \\
   &=\left(2^{n+1}-1\right)\left(1+p_n\right) \\
   &=p_n\left(1+p_n\right) \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire que $u_n$ est un nombre parfait.
   $u_n=2^np_n$ et $p_n$ est un nombre premier.
   On a, d’après la question précédente :
   $\begin{align*} S_n&=\left(1+p_n\right)p_n \\
   &=\left(2^{n+1}+1-1\right)p_n \\
   &=2^{n+1}p_n\\
   &=2\times 2^np_n\\
   &=2u_n
   \end{align*}$
   Le nombre $u_n$ est donc parfait.
   $\quad$