Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 - Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O}, \vec{u}, \vec{v}\right)$. On prendra pour unité graphique le centimètre.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $\left(z^2 - 2z + 4\right)\left(z^2 + 4\right) = 0$.
2. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_{\text{B}} = 2\text{i}$.
   1. Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle et justifier que les points A et B sont sur un cercle de centre O dont on précisera le rayon.
   2. Faire une figure et placer les points A et B.
   3. Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}\right)$.
3. On note F le point d'affixe $z_{\text{F}} = z_{\text{A}} + z_{\text{B}}$.
   1. Placer le point F sur la figure précédente. Montrer que OAFB est un losange.
   2. En déduire une mesure de l'angle $\left(\vec{\text{OA}}, \vec{\text{OF}}\right)$ puis de l'angle $\left(\vec{u}, \vec{\text{OF}}\right)$.
   3. Calculer le module de $z_{\text{F}}$ et en déduire l'écriture de $z_{\text{F}}$ sous forme trigonométrique.
   4. En déduire la valeur exacte de : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right).\]
4. Deux modèles de calculatrice de marques différentes donnent pour l'une: \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}\] et pour l'autre : \[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}.\] Ces résultats sont-ils contradictoires ? Justifier la réponse.