Baccalauréat S Métropole--La Réunion 13 septembre 2018 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)

Commun à tous les candidats

 

Une étude statistique a été menée dans une grande ville de France entre le 1^er janvier 2000 et le 1^er janvier 2010 afin d'évaluer la proportion des ménages possédant une connexion internet fixe.
Au 1^er janvier 2000, un ménage sur huit était équipé d'une connexion internet fixe et, au 1^er janvier 2010, 64 % des ménages l'étaient.
Suite à cette étude, cette proportion a été modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$ par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + k\text{e}^{- at}},\] où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles positives et la variable $t$ désigne le temps, compté en années, écoulé depuis le 1^er janvier 2000.

1. Déterminer les valeurs exactes de $k$ et de $a$ pour que $g(0) = \dfrac{1}{8}$ et $g(10) = \dfrac{64}{100}$.
$g(0)=\dfrac{1}{1+k}$.
Or
$\begin{align*} g(0)=\dfrac{1}{8}&\iff \dfrac{1}{k+1}=\dfrac{1}{8} \\
&\iff k+1=8 \\
&\iff k=7
\end{align*}$
Ainsi $g(t)=\dfrac{1}{1+7\text{e}^{-\alpha t}}$
$g(10)=\dfrac{1}{1+7\text{e}^{-10\alpha}}$
Or
$\begin{align*} g(10)=\dfrac{64}{100}& \iff \dfrac{1}{1+7\text{e}^{-10\alpha}}=\dfrac{64}{100} \\
&\iff 64\left(1+7\text{e}^{-10\alpha}\right)=100 \\
&\iff 64+448\text{e}^{-10\alpha}=100 \\
&\iff 448\text{e}^{-10\alpha}=36 \\
&\iff \text{e}^{-10\alpha}=\dfrac{9}{112} \\
&\iff -10\alpha=\ln \left(\dfrac{9}{112}\right) \\
&\iff \alpha=\dfrac{\ln \left(\dfrac{9}{112}\right)}{-10}
\end{align*}$
$\quad$
2. Dans la suite, on prendra $k = 7$ et $a = 0,25$. La fonction $g$ est donc définie par: \[g(t) = \dfrac{1}{1 + 7\text{e}^{- \left(\frac{t}{4}\right)}}.\]
   1. Montrer que la fonction $g$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; + \infty[$.
   La fonction $t\mapsto -\dfrac{t}{4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et $7>0$. On en déduit que la fonction $t \mapsto 7\text{e}^{-t/4}$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
   Il en donc de même pour la fonction $t\mapsto 1+7\text{e}^{-t/4}$ (fonction positive également).
   La fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$.
   Par conséquent la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait également étudier le signe de $g'(x)$ après avoir montré que la fonction $g$ est dérivable.
   $\quad$
   
   2. Selon cette modélisation, peut-on affirmer qu'un jour, au moins 99 % des ménages de cette ville seront équipés d'une connexion internet fixe ? Justifier la réponse.
   $\lim\limits_{t \to +\infty} -\dfrac{t}{4}=-\infty$ or $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x=0$
   Donc $\lim\limits_{t \to +\infty} \text{e}^{-t/4}=0$ et $\lim\limits_{t \to +\infty} g(t)=1$.
   La fonction $g$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions continues sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas (la fonction exponentielle est strictement positive). Sur l’intervalle $[0;+\infty[$, la fonction $g$ est strictement croissante d’après la question précédente.
   De plus $g(0)=\dfrac{1}{8}<0,99$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=1>0,99$.
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(t)=0,99$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   On peut donc affirmer qu’un jour, au moins $99\%$ des ménages de cette ville seront équipés d’une connexion internet fixe.
   $\quad$
   Remarque : On pouvait simplement utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (avec la croissance) puisqu’on ne demandait pas l’unicité de la solution.
   $\quad$
3. 1. Donner, au centième près, la proportion de foyers, prévue par le modèle, équipés d'une connexion internet fixe au 1^er janvier 2018.
   On a $g(18)\approx 0,93$.
   Au 1^ier janvier 2018 environ $93\%$ des foyers sont équipés d’une connexion internet selon ce modèle.
   $\quad$
   
   2. Compte tenu du développement de la téléphonie mobile, certains statisticiens pensent que la modélisation par la fonction $g$ de l'évolution de la proportion de ménages possédant une connexion internet fixe doit être remise en cause. Au début de l'année 2018 un sondage a été effectué. Sur 1000 foyers, $880$ étaient équipés d'une connexion fixe. Ce sondage donne-t-il raison à ces statisticiens sceptiques ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %.)
   On a $n=1~000$ et $p=0,93$.
   Donc $n=1~000 \geq 30$, $np=930\geq 5$ et $n(1-p)=70\geq 5$.
   Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ de la proportion de foyers équipés d’une connexion fixe dans cette commune est :
   $\begin{align*} I_{1~000}&=\left[0,93-1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}};0,93+1,96\sqrt{\dfrac{0,93\times 0,07}{1~000}}\right] \\
   &\approx [0,914;0,946]\end{align*}$
   La fréquence observée est $f=\dfrac{880}{1~000}=0,88\notin I_{1~000}$.
   Au risque d’erreur de $5\%$, ce sondage remet en cause le modèle étudié et donne donc raison aux statisticiens sceptiques.
   $\quad$