Baccalauréat S Liban 5 juin 2017
Exercice 1 6 points
On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous. Les arêtes sont de longueur 1. L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{D};\vec{\text{DA}},\vec{\text{DC}},\vec{\text{DH}}\right)$.
Partie A
- Montrer que le vecteur $\vec{\text{DF}}$ est normal au plan (EBG).
- Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).
- En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG). On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$.
Partie B
À tout réel $x$ de l'intervalle [0;1], on associe le point $M$ du segment [DF] tel que $\vec{\text{D}M} = x\vec{\text{DF}}$. On s'intéresse à l'évolution de la mesure $\theta$ en radian de l'angle $\widehat{\text{EMB}}$ lorsque le point $M$ parcourt le segment [DF]. On a $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$.
- Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point D ? avec le point F ?
-
- Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
- Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}$. On pourra pour cela s'intéresser au produit scalaire des vecteurs $\vec{M\text{E}}$ et $\vec{M\text{B}}$.
- On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction \[f \::\: x \longmapsto \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}.\]
Pour quelles positions du point $M$ sur le segment [DF] :- le triangle $M$EB est-il rectangle en $M$ ?
- l'angle $\theta$ est-il maximal ?
Correction de l'exercice 1 (6 points)
On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation graphique en perspective cavalière est donnée ci-dessous. Les arêtes sont de longueur 1. L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{D};\vec{\text{DA}},\vec{\text{DC}},\vec{\text{DH}}\right)$.
Partie A
- Montrer que le vecteur $\vec{\text{DF}}$ est normal au plan (EBG). On a : $D(0;0;0)$, $F(1;1;1)$, $B(1;1;0)$, $E(1;0;1)$ et $G(0;1;1)$.
- Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG). Une équation cartésienne du plan $(EBG)$ est donc de la forme : $x+y+z+d=0$.
- En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG). On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3} \right)$. Une représentation paramétrique de la droite $(DF)$ est :
Ainsi $\vec{DF}(1;1;1)$, $\vec{BE}(0;-1;1)$ et $\vec{BG}(-1;0;1)$.
Les vecteurs $\vec{BE}$ et $\vec{BG}$ ne sont clairement pas colinéaires.
De plus :
$\vec{DF}.\vec{BE}=0-1+1=0$ et $\vec{DF}.\vec{BG}=-1+0+1=0$.
Le vecteur $\vec{DF}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EBG)$. Il est par conséquent normal au plan $(EBG)$.
$\quad$
Le point $E(1;0;1)$ appartient au plan donc $1+0+1+d=0 \iff d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(EBG)$ est donc :
$$x+y+z-2=0$$
$\quad$
$\begin{cases} x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \qquad t\in \mathbb R$.
Les coordonnées du point $I$ sont solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases}x+y+z-2=0\\ x=t\\y=t\\z=t\end{cases} &\iff \begin{cases} t+t+t-2=0\\x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \\
&\iff \begin{cases}3t=2\\x=t\\y=t\\z=t\end{cases} \\
&\iff \begin{cases} t=\dfrac{2}{3} x=\dfrac{2}{3}\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{2}{3}\end{cases} \end{align*}$
Ainsi $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
$\quad$
Partie B
À tout réel $x$ de l'intervalle [0;1], on associe le point $M$ du segment [DF] tel que $\vec{\text{D}M} = x\vec{\text{DF}}$. On s'intéresse à l'évolution de la mesure $\theta$ en radian de l'angle $\widehat{\text{EMB}}$ lorsque le point $M$ parcourt le segment [DF]. On a $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$.
- Que vaut $\theta$ si le point $M$ est confondu avec le point D ? avec le point F ? Les côtés $[ED]$, $[DB]$ et $[EB]$ du triangle $EDB$ sont les diagonales de carré de côté de longueur $1$.
-
- Justifier que les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$. On a $\vec{DM}=x\vec{DF}$ avec $\vec{DF}(1;1;1)$.
- Montrer que $\cos (\theta) = \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}$. On pourra pour cela s'intéresser au produit scalaire des vecteurs $\vec{M\text{E}}$ et $\vec{M\text{B}}$. On a $\vec{ME}(1-x;-x;1-x)$ et $\vec{MB}(1-x;1-x;-x)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vec{DM}=x\vec{DF} &\iff \begin{cases} x_M-0=x\times 1\\y_M-0=x\times 1\\z_M-0=x\times 1 \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} x_M=x\\y_M=x\\z_M=x\end{cases}\end{align*}$.
Ainsi les coordonnées du point $M$ sont $(x;x;x)$.
$\quad$
$\begin{align*} \vec{ME}.\vec{MB}&= (1-x)^2-x(1-x)+(1-x)\times -x \\
&=1-2x+x^2-x+x^2-x+x^2\\
&=1-4x+3x^2
\end{align*}$
$ME=\sqrt{(1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2}$ et $MB=\sqrt{(1-x)^2+(1-x)^2+(-x)^2}$.
Donc
$\begin{align*} ME\times MB &= (1-x)^2+(-x)^2+(1-x)^2 \\ &=1-2x+x^2+x^2+1-2x+x^2 \\ &=2-4x+3x^2 \end{align*}$
$\begin{align*} \vec{ME}.\vec{MB}=ME\times MB\times \cos(\theta) &\iff 1-4x+3x^2=\left(2-4x+3x^2\right)\cos(\theta) \\
&\iff \cos(\theta)=\dfrac{3x^2-4x+1}{3x^2-4x+2}
\end{align*}$ - On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction \[f \::\: x \longmapsto \dfrac{3x^2 - 4x + 1}{3x^2 - 4x + 2}.\]
Pour quelles positions du point $M$ sur le segment [DF] :- le triangle $M$EB est-il rectangle en $M$ ? Le triangle $MEB$ est rectangle en $M$ si, et seulement si, $\cos(\theta)=0$.
- l'angle $\theta$ est-il maximal ? La fonction $\cos$ est décroissante sur l’intervalle $[0;\pi]$.
$\bullet$ La fonction $f$ est strictement décroissante et continue sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$.
$f(0)=\dfrac{1}{2}>0$ et $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}<0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $\left[0;\dfrac{2}{3}\right]$.
Or $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$. Le point $M$ est confondu avec le point $J$.
$\bullet$ Sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{3};1\right[$, on a $f(x)<0$.
L’équation $f(x)=0$ ne possède aucune solution sur l’intervalle $\left[\dfrac{2}{3};1\right[$.
$\bullet$ $f(1)=0$. Le point $M$ est confondu avec le point $F$.
$\bullet$ Les seules positions du point $M$ sur le segment $[DF]$ pour lesquelles le triangle $MEB$ est rectangle en $M$ sont lorsque $M$ est confondu avec le point $J$ ou confondu avec le point $F$.
$\quad$
Ainsi l’angle $\theta$ est maximal quand $\cos(\theta)$ est minimal.
La fonction $f$ atteint son minimum pour $x=\dfrac{2}{3}$.
L’angle $\theta$ est maximal quand $M$ est confondu avec le point $I$.
$\quad$
Le triangle $EDB$ est donc équilatéral et tous ses angles mesurent $\dfrac{\pi}{3}$ radian.
Si le point $M$ est confondu avec le point $D$ alors l’angle $\widehat{EMB}=\dfrac{\pi}{3}$.
$\quad$
Le triangle $EFB$ est rectangle en $F$.
Si le point $M$ est confondu avec le point $F$ alors l’angle $\widehat{EMB}=\dfrac{\pi}{2}$, car $\widehat{EMB}=\widehat{EFB}=\dfrac{\pi}{2}$ en effet $EFBA$ est une face du cube, donc est un carré.
$\quad$
Une animation GeoGebra ?
Exercice 2 6 points
Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d'une ville. Dans tout l'exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.
Les parties A B et C sont indépendantes.
Partie A - Durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain
On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée. $$\begin{array}{|l|c |c |c |c |}\hline \text{Durée d'attente en minute } &[0 ; 2[ &[2 ; 4[ &[4 ; 6[ &[6 ;8[\\ \hline \text{Nombre de voitures }& 75 &19 &10 &5\\ \hline \end{array}$$
- Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking.
- On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
- Justifier que l'on peut choisir $\lambda = 0,5$min.
- Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ?
- Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ?
Partie B - Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain
Une fois garée, la durée de stationnement d'une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 70$min et d'écart-type $\sigma = 30$min.
-
- Quelle est la durée moyenne de stationnement d'une voiture ?
- Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ?
- À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99% des voitures ?
- La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Durée de stationnement}&\text{ Inférieure à 15 min} &\text{Entre 15 min et 1 h }&\text{Heure supplémentaire}\\ \hline \text{Tarif en euros} &\text{Gratuit }&3,5 &t\\ \hline \end{array}$$ Déterminer le tarif $t$ de l'heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de $5$ euros.
Partie C - Temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville
La durée de stationnement d'une voiture dans un parking de centre-ville est modélisée par une variable aléatoire $T'$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$. On sait que la moyenne du temps de stationnement dans ce parking est égale à $30$ minutes et que 75% des voitures ont un temps de stationnement inférieur à $37$ minutes. Le gestionnaire du parking vise l'objectif que 95% des voitures aient un temps de stationnement entre $10$ et $50$minutes. Cet objectif est-il atteint ?
Correction de l'exercice 2 (6 points)
Dans cet exercice, on étudie quelques grandeurs caractéristiques du fonctionnement des parkings d'une ville. Dans tout l'exercice, les probabilités seront données avec une précision de $10^{-4}$.
Les parties A B et C sont indépendantes.
Partie A - Durée d'attente pour entrer dans un parking souterrain
On appelle durée d'attente le temps qui s'écoule entre le moment où la voiture se présente à l'entrée du parking et le moment où elle franchit la barrière d'entrée du parking. Le tableau suivant présente les observations faites sur une journée. $$\begin{array}{|l|c |c |c |c |}\hline \text{Durée d'attente en minute } &[0 ; 2[ &[2 ; 4[ &[4 ; 6[ &[6 ;8[\\ \hline \text{Nombre de voitures }& 75 &19 &10 &5\\ \hline \end{array}$$
- Proposer une estimation de la durée d'attente moyenne d'une voiture à l'entrée du parking. Pour déterminer une estimation de la durée moyenne d’attente on va utiliser le centre des classes.
- On décide de modéliser cette durée d'attente par une variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (exprimé en minute).
- Justifier que l'on peut choisir $\lambda = 0,5$min. On a :
- Une voiture se présente à l'entrée du parking. Quelle est la probabilité qu'elle mette moins de deux minutes pour franchir la barrière ? On veut calculer
- Une voiture attend à l'entrée du parking depuis une minute. Quelle est la probabilité qu'elle franchisse la barrière dans la minute suivante ? On veut calculer :
$\begin{align*} E(T)=\dfrac{1}{\lambda}&\iff 2=\dfrac{1}{\lambda} \\
&\iff \lambda =\dfrac{1}{2}
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} P(T\leqslant 2)&= 1-\text{e}^{-0,5\times 2}\\
&=1-\text{e}^{-1} \\
&\approx 0,632~1
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} P_{T\geqslant 1}(T\leqslant 2)&=\dfrac{P(1\leqslant T\leqslant 2)}{P(T\geqslant 1)} \\
&=\dfrac{\text{e}^{-0,5\times 1}-\text{e}^{-0,5 \times 2}}{\text{e}^{-0,5\times 1}} \\
&=\dfrac{\text{e}^{-0,5}-\text{e}^{-1}}{\text{e}^{-0,5}} \\
&\approx 0,393~5
\end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} \dfrac{1\times 75+3\times 19+5\times 10+7\times 5}{75+19+10+5}&=\dfrac{217}{109} \\
&\approx 1,991
\end{align*}$
Une voiture à l’entrée du parking attend en moyenne environ $2$ minutes.
Partie B - Durée et tarifs de stationnement dans ce parking souterrain
Une fois garée, la durée de stationnement d'une voiture est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 70$min et d'écart-type $\sigma = 30$min.
-
- Quelle est la durée moyenne de stationnement d'une voiture ? D’après l’énoncé $E(D)=70$.
- Un automobiliste entre et se gare dans le parking. Quelle est la probabilité que sa durée de stationnement dépasse deux heures ? Méthode 1 : On veut calculer :
- À la minute près, quel est le temps maximum de stationnement pour au moins 99% des voitures ? On veut trouver la valeur de $d$ telle que $P(D\leqslant d)=0,99$.
La durée moyenne de stationnement d’une voiture est donc de $70$ minutes.
$\quad$
$P(D\geqslant 120)$2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI$$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$
$$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
Méthode 2 : On veut calculer :
$P(D\geqslant 120)=0,5-P(70\leqslant D\leqslant 120) \approx 0,047~8$
$\quad$
En utilisant la touche inverse loi normale de la calculatrice on trouve $d\approx 140$.
$99\%$ des voitures stationnement au plus environ $140$ minutes dans le parking.
$\quad$ - La durée de stationnement est limitée à trois heures. Le tableau donne le tarif de la première heure et chaque heure supplémentaire est facturée à un tarif unique. Toute heure commencée est due intégralement.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \text{Durée de stationnement}&\text{ Inférieure à 15 min} &\text{Entre 15 min et 1 h }&\text{Heure supplémentaire}\\ \hline \text{Tarif en euros} &\text{Gratuit }&3,5 &t\\ \hline \end{array}$$ Déterminer le tarif $t$ de l'heure supplémentaire que doit fixer le gestionnaire du parking pour que le prix moyen de stationnement d'une voiture soit de $5$ euros. $P(D\leqslant 15)=0,5-P(15\leqslant D\leqslant 70)\approx 0,033~4$.
$P(15\leqslant D\leqslant 60)\approx 0,336~1$
$P(60 \leqslant D\leqslant 120) \approx 0,582~8$ : première heure supplémentaire
$P(120 \leqslant D\leqslant 180) \approx 0,047~8$ : deuxième heure supplémentaire
En notant $P$ la variable aléatoire égal au prix du parking le gestionnaire veut que :
$\begin{align*} E(P)=5&\iff 0,336~1\times 3,5+0,582~8\times (3,5+t)+0,047~8\times (3,5+2t)=5 \\
&\iff 1,176~35+2,0398+0,582~8t+0,167~3+0,095~6t=5\\
&\iff 0,678~4t=1,616~55 \\
&\iff t=\dfrac{1,616~55}{0,678~4}
\end{align*}$
Ainsi $t\approx 2,38$ euros.
L’heure supplémentaire doit donc être facturée environ $2,38$ euros.
$\quad$
Partie C - Temps d'attente pour se garer dans un parking de centre-ville
On a donc $\mu=30$ et :
$\begin{align*} P(T’ \leqslant 37)=0,75 &\iff P(T’-30\leqslant 7)=0,75 \\
&\iff P\left(\dfrac{T’-30}{\sigma’}\leqslant \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75
\end{align*}$
Or la variable aléatoire $X=\dfrac{T’-30}{\sigma’}$ suit la loi normale centrée réduite.
Ainsi, d’après la touche inverse loi normale de la calculatrice on a :
$\begin{align*} P\left(X\leqslant \dfrac{7}{\sigma’}\right)=0,75 &\iff \dfrac{7}{\sigma’} \approx 0,674~5 \\
&\iff \sigma’ \approx 10,378~2
\end{align*}$
On a alors $P(10 \leqslant T’\leqslant 50) \approx 0,946~0 < 0,95$
L’objectif n’est donc pas atteint.
Exercice 3 3 points
Soit $k$ un réel strictement positif. On considère les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb R$ par : \[f_k(x) = x + k\text{e}^{- x}.\] On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un plan muni d'un repère orthonormé. On a représenté ci-dessous quelques courbes $\mathcal{C}_k$ pour différentes valeurs de $k$. 
Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\mathbb R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathcal{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés. Est-ce le cas ?
Correction de l'exercice 3 (3 points)
Pour tout réel $k$ strictement positif, la fonction $f_k$ admet un minimum sur $\mathbb R$. La valeur en laquelle ce minimum est atteint est l'abscisse du point noté $A_k$ de la courbe $\mathcal{C}_k$. il semblerait que, pour tout réel $k$ strictement positif, les points $A_k$ soient alignés. Est-ce le cas ?
La fonction $f_k$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
On a, pour tout réel $x$, $f’_k(x)=1-k\text{e}^{-x}$.
Ainsi
$\begin{align*} f’_k(x)=0 &\iff k\text{e}^{-x}=1 \\
&\iff \text{e}^{-x}=\dfrac{1}{k} \\
&\iff -x=\ln \dfrac{1}{k} \\
&\iff -x=-\ln k\\
&\iff x=\ln k
\end{align*}$
$f(\ln k)=\ln k+k\text{e}^{-\ln k}=1+\ln k$
Les points $A_k$ ont donc pour coordonnées $(\ln k;1+\ln k)$
Par conséquent les points $A_k$ appartiennent à la droite d’équation $y=1+x$.
Ils sont donc alignés.
Exercice 4 5 points
L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$ans. L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.
Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa
Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0;1[ par : \[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.
- Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;1[$.
- Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans.
Partie B
On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I&J&K &L&M\\ \hline 1&\text{Âges (en années)}&50 &70 &80 &85 &90 &95 &100 &105 &110 &120 &130 &150\\ \hline 2&\text{Hauteurs (en mètres)} &11,2 &15,6 &18,05 &19,3 &20,55 &21,8 &23 &24,2 &25,4 &27,6 &29,65 &33\\ \hline 3&\text{Vitesse de croissance (en mètres par année)}& &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
-
- Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3.
- Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ?
- Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$m du sol vaut $27$cm.
- La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
- Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche.
- Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$cm ?
Correction de l'exercice 4 5 points
L'épicéa commun est une espèce d'arbre résineux qui peut mesurer jusqu'à 40 mètres de hauteur et vivre plus de $150$ans. L'objectif de cet exercice est d'estimer l'âge et la hauteur d'un épicéa à partir du diamètre de son tronc mesuré à 1,30 m du sol.
Partie A - Modélisation de l'âge d'un épicéa
Pour un épicéa dont l'âge est compris entre $20$ et $120$ans, on modélise la relation entre son âge (en années) et le diamètre de son tronc (en mètre) mesuré à $1,30$m du sol par la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0;1[ par : \[f(x) = 30 \ln \left(\dfrac{20x}{1 - x}\right)\] où $x$ désigne le diamètre exprimé en mètre et $f(x)$ l'âge en années.
- Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;1[$. On appelle $g$ la fonction définie sur $]0;1[$ par $g'(x)=\dfrac{20x}{1-x}$.
- Déterminer les valeurs du diamètre $x$ du tronc tel que l'âge calculé dans ce modèle reste conforme à ses conditions de validité, c'est-à-dire compris entre $20$ et $120$ ans. $\quad$
Cette fonction est dérivable sur $]0;1[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
$g'(x)=20\times \dfrac{1-x+x}{(1-x)^2}=\dfrac{20}{(1-x)^2}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;1[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;1[$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=30\times \dfrac{\dfrac{20}{(1-x)^2}}{\dfrac{20x}{1-x}} \\
&=30\times \dfrac{20}{(1-x)^2}\times \dfrac{1-x}{20x} \\
&=\dfrac{30}{x(1-x)}
\end{align*}$
Si $x$ appartient à l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs.
Ainsi $f'(x)>0$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$.
$\quad$
On peut aussi remarquer que sur l’intervalle $]0;1[$ alors $x$ et $1-x$ sont positifs, ainsi $f(x)=30 \left(\ln \left( 20x \right)-\ln(1-x)\right)$.
On obtient ainsi plus facilement : $$\begin{array}{lr} f'(x)&=30\left( \dfrac{20}{20x}- \dfrac{-1}{1-x}\right)\\ &=30\left( \dfrac{1}{ x}+ \dfrac{ 1}{1-x}\right)\\ &=\dfrac{30}{x(1-x)} \end{array}$$
$\begin{align*} 20 \leqslant f(x) \leqslant 120 &\iff 20 \leqslant 30\ln\left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \leqslant 120 \\
&\iff \dfrac{2}{3} \ln \left(\dfrac{20x}{1-x}\right) \leqslant 4 \\
&\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}\leqslant \dfrac{20x}{1-x} \leqslant \text{e}^4
\end{align*}$
D’une part :
$\begin{align*} \text{e}^{\frac{2}{3}} \leqslant \dfrac{20x}{1-x} &\iff (1-x)\text{e}^{\frac{2}{3}} \leqslant 20 x \\
&\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}-\text{e}^{\frac{2}{3}}x \leqslant 20x \\
&\iff \text{e}^{\frac{2}{3}}\leqslant \left(20+\text{e}^{\frac{2}{3}}\right)x \\
&\iff \dfrac{\text{e}^{\frac{2}{3}}}{20+\text{e}^{\frac{2}{3}}} \leqslant x
\end{align*}$
Soit, en arrondissant au cm près, $x\geqslant 0,09$ mètre.
$\quad$
D’autre part :
$\begin{align*} \dfrac{20x}{1-x} \leqslant \text{e}^4 &\iff 20x \leqslant (1-x)\text{e}^4 \\
&\iff 20x \leqslant \text{e}^4-\text{e}^4 x \\
&\iff \left(20+\text{e}^4\right)x \leqslant \text{e}^4 \\
&\iff x \leqslant \dfrac{\text{e}^4}{20+\text{e}^4}
\end{align*}$
Soit, en arrondissant au cm près, $x \leqslant 0,73$ mètre.
La fonction $f$ étant strictement croissante sur l’intervalle $]0;1[$, on en déduit donc que le diamètre doit être compris entre $0,08$ mètre et $0,73$ mètre pour que ce modèle.
$\quad$
Partie B
On a relevé la hauteur moyenne des épicéas dans des échantillons représentatifs d'arbres âgés de $50$ à $150$ans. Le tableau suivant, réalisé à l'aide d'un tableur, regroupe ces résultats et permet de calculer la vitesse de croissance moyenne d'un épicéa. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I&J&K &L&M\\ \hline 1&\text{Âges (en années)}&50 &70 &80 &85 &90 &95 &100 &105 &110 &120 &130 &150\\ \hline 2&\text{Hauteurs (en mètres)} &11,2 &15,6 &18,05 &19,3 &20,55 &21,8 &23 &24,2 &25,4 &27,6 &29,65 &33\\ \hline 3&\text{Vitesse de croissance (en mètres par année)}& &0,22 &0,245 &0,25&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
-
- Interpréter le nombre $0,245$ dans la cellule D3. Ce nombre signifie que chaque année, sur la période $70$ ans à $80$ ans, l’arbre a grandi de $0,245$ mètre.
- $\quad$
- Quelle formule doit-on entrer dans la cellule C3 afin de compléter la ligne 3 en recopiant la cellule C3 vers la droite ? En $C3$ on a saisi $=(C2-B2)/(C1-B1)$
- $\quad$
- $f(0,27)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,27}{1-0,27}\right)\approx 60$
L’arbre a donc $60$ ans.
Sur la période allant de $50$ ans à $70$ ans l’arbre a grandi de $0,22$ mètre par an.
A $60$ ans, il mesure donc $11,2+10\times 0,22 = 13,4$ mètres.
$\quad$
- Déterminer la hauteur attendue d'un épicéa dont le diamètre du tronc mesuré à $1,30$m du sol vaut $27$cm.
- La qualité du bois est meilleure au moment où la vitesse de croissance est maximale.
- Déterminer un intervalle d'âges durant lequel la qualité du bois est la meilleure en expliquant la démarche. On calcule les vitesse de croissance manquantes.
- $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
- \hline
- \text{Âges}&50&70&80&85&90&95&100&105&110&120&130&150\\
- \hline
- \text{Vitesse}&&0,22&0,245&0,25&0,25&0,25&0,24&0,24&0,24&0,22&0,205&0,167~5\\
- \hline
- \end{array}$
- La vitesse de croissance est donc maximale entre $80$ et $95$ ans : la vitesse de croissance concerne un intervalle; donc ici les intervalles $[80;85]$, $[85;90]$ et $[90;95]$.
- $\quad$
- Est-il cohérent de demander aux bûcherons de couper les arbres lorsque leur diamètre mesure environ $70$cm ? $f(0,7)=30\ln\left(\dfrac{20\times 0,7}{1-0,7}\right)\approx 115 $ ans
Il n’est donc pas cohérent de demander aux bûcherons de couper des épicéa de diamètre 70 cm puisque la qualité du bois n’est plus la meilleure.
Spécialité 5 points
Un numéro de carte bancaire est de la forme: \[a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c\] où $a_{1},\:a_{2},\:\ldots,\:a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$. Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire. $c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres. L'algorithme suivant permet de valider la conformité d'un numéro de carte donné. $$\begin{array}{\linewidth}{r l} \text{Initialisation} :& I \text{ prend la valeur }0\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} P \text{ prend la valeur } 0\\ R \text{ prend la valeur } 0\\ \end{array}\\ \text{Traitement} : &\text{Pour } k \text{ allant de } 0 \text{ à } 7 :\\ &R \text{ prend la valeur du reste de la division euclidienne de} 2a_{2k+1} \text{ par } 9\\ &I \text{ prend la valeur } I + R\\ &\text{Fin Pour }\\ &\text{ Pour } k \text{ allant de 1 à 7 }:\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} P \text{ prend la valeur } P + a_{2k}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin Pour }\\ &S \text{ prend la valeur } I + P + c\\ \text{Sortie} : &\text{ Si } S \text{ est un multiple de 10 alors} :\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher « Le numéro de la carte est correct. »}\\ \end{array}\\ &\text{Sinon }:\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher « Le numéro de la carte n'est pas correct. »}\\ \end{array}\\ &\text{Fin Si }\\ \end{array}$$
- On considère le numéro de carte suivant: 5635 4002 9561 3411.
- Compléter le tableau en annexe permettant d'obtenir la valeur finale de la variable $I$.
- Justifier que le numéro de la carte 5635 4002 9561 3411 est correct.
- On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu 6$a$35 4002 9561 3411 reste correct ?
- On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d'une carte bancaire. Montrer qu'il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique.
- Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type.
- On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct. On a trouvé une situation où ce n'est pas le cas, l'un des deux chiffres permutés valant 1. Peut-on déterminer l'autre chiffre permuté ?
Annexe
À rendre avec la copie
Exercice 4 -- Question 1. a.
$$\begin{array}{ |l| c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k &0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline a_{2k+1} &&&&&&&&\\ \hline 2a_{2k+1} &&&&&&&&\\ \hline R &&&&&&&&\\ \hline I &&&&&&&&\\ \hline \end{array}$$
Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
Un numéro de carte bancaire est de la forme: \[a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}a_{15}c\] où $a_{1},\:a_{2},\:\ldots,\:a_{15}$ et $c$ sont des chiffres compris entre $0$ et $9$. Les quinze premiers chiffres contiennent des informations sur le type de carte, la banque et le numéro de compte bancaire. $c$ est la clé de validation du numéro. Ce chiffre est calculé à partir des quinze autres. L'algorithme suivant permet de valider la conformité d'un numéro de carte donné. $$\begin{array}{\linewidth}{r l} \text{Initialisation} :& I \text{ prend la valeur }0\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} P \text{ prend la valeur } 0\\ R \text{ prend la valeur } 0\\ \end{array}\\ \text{Traitement} : &\text{Pour } k \text{ allant de } 0 \text{ à } 7 :\\ &R \text{ prend la valeur du reste de la division euclidienne de} 2a_{2k+1} \text{ par } 9\\ &I \text{ prend la valeur } I + R\\ &\text{Fin Pour }\\ &\text{ Pour } k \text{ allant de 1 à 7 }:\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} P \text{ prend la valeur } P + a_{2k}\\ \end{array}\\ &\text{ Fin Pour }\\ &S \text{ prend la valeur } I + P + c\\ \text{Sortie} : &\text{ Si } S \text{ est un multiple de 10 alors} :\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher « Le numéro de la carte est correct. »}\\ \end{array}\\ &\text{Sinon }:\\ &\hspace{0,3cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher « Le numéro de la carte n'est pas correct. »}\\ \end{array}\\ &\text{Fin Si }\\ \end{array}$$
- On considère le numéro de carte suivant: 5635 4002 9561 3411.
- Compléter le tableau en annexe permettant d'obtenir la valeur finale de la variable $I$. $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
- Justifier que le numéro de la carte 5635 4002 9561 3411 est correct. On a :
- On modifie le numéro de cette carte en changeant les deux premiers chiffres. Le premier chiffre (initialement 5) est changé en 6. Quel doit être le deuxième chiffre $a$ pour que le numéro de carte obtenu 6$a$35 4002 9561 3411 reste correct ?
\hline
k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
a_{2k+1}&5&3&4&0&9&6&3&1\\
\hline
2a_{2k+1}&10&6&8&0&18&12&6&2\\
\hline
R&1&6&8&0&0&3&6&2\\
\hline
I&1&7&15&15&15&18&24&26\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a_{2k}&6&5&0&2&5&1&4\\
\hline
P&6&11&11&13&18&19&23\\
\hline
\end{array}$
Donc $S=26+23+c=26+23+1=50$
$50$ est bien un multiple de $10$. Le numéro est donc correct
$\quad$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
a_{2k+1}&6&3&4&0&9&6&3&1\\
\hline
2a_{2k+1}&12&6&8&0&18&12&6&2\\
\hline
R&31&6&8&0&0&3&6&2\\
\hline
I&3&9&17&17&17&20&26&28\\
\hline
\end{array}$
De plus $P=a+17$
On veut donc que $a+17+28+1$ soit un multiple de $10$
Soit :
$a+17+28+1\equiv 0~~[10] \iff a+46\equiv 0~~[10]$
Puisque $a$ est un entier compris entre $0$ et $9$, la seule possibilité est $a=4$.
$\quad$ - On connaît les quinze premiers chiffres du numéro d'une carte bancaire. Montrer qu'il existe une clé $c$ rendant ce numéro de carte correct et que cette clé est unique. Si $S$ est un multiple de $10$ alors on prend $c=0$
- Un numéro de carte dont les chiffres sont tous égaux peut-il être correct ? Si oui, donner tous les numéros de carte possibles de ce type. Supposons que tous les chiffres soient égaux à $n$
- On effectue le test suivant : on intervertit deux chiffres consécutifs distincts dans un numéro de carte correct et on vérifie si le numéro obtenu reste correct. On a trouvé une situation où ce n'est pas le cas, l'un des deux chiffres permutés valant 1. Peut-on déterminer l'autre chiffre permuté ? Dans le numéro $5635~4002~9561~3411$ de l’exemple.
Si $S$ n’est pas un multiple de $10$, il existe alors un entier naturel $n$ tel que $n<S<n+1$.
Ainsi $0<n+1-S<10$.
Et on note $c=n+1-S$.
Il existe donc bien une clé $c$ rendant ce numéro correct.
$\quad$
Supposons qu’il existe deux clés valides : $c$ et $c’$.
On a ainsi $I+P+c\equiv I+P+c’~~[10]$ soit $c\equiv c’~~[10]$.
Or $c$ et $c’$ sont deux entiers naturels compris entre $0$ et $9$.
Cela signifie donc que $c=c’$ et la clé est unique.
$\quad$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
2a_1&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18\\
\hline
R&0&2&4&6&8&1&3&5&7&0\\
\hline
I&0&16&32&48&64&8&24&40&56&0\\
\hline
P&0&7&14&21&28&35&42&49&56&63\\
\hline
S&0&24&48&72&96&48&72&96&120&72\\
\hline
\end{array}$
Les seuls numéros possibles de ce type sont :
$0000~0000~0000~0000$ et $8888~8888~8888~8888$
$\quad$
Si on échange le $1$ et le $6$ ou le $1$ et le $3$ alors dans les deux cas le numéro n’est pas correct.
On ne peut donc pas déterminé l’autre chiffre permuté.
$\quad$
Annexe
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