Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 5 septembre 2017 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (3 points)

Commun à tous les candidats

On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, \[\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b).\] Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$.

1. Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$.
Si $-\dfrac{\pi}{4} < \theta< \dfrac{3\pi}{4} $ alors$ -\dfrac{\pi}{2} < \theta-\dfrac{\pi}{4} < \dfrac{\pi}{2} $ puis $ \cos \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0$ car le cosinus est positif sur l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$.
$\quad$

2. Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ non nulle. On note $\rho = |z|$ le module de $z$ et $\theta = \text{arg}(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$. Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : \[\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}, \:\text{avec }\:\theta \in \left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[ \:\text{et}\: \rho > 0.\]
$\begin{align*} M\in \mathscr{D} &\iff \rho\sin \theta=-\rho \cos \theta +2 \text{ et } \rho >0 \\
&\iff \rho\sin\theta+\rho \cos \theta = 2 \text{ et } \rho >0\\
&\iff \rho\left(\cos \theta+\sin \theta\right)=2 \text{ et } \rho >0\\
&\iff \rho=\dfrac{2}{\cos \theta+\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
&\iff \rho=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta} \text{ et } \rho >0 \\
&\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \rho >0 \\
&\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right) > 0 \\
&\iff \rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)} \text{ et } \theta \in \left]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{3\pi}{4}\right[
\end{align*}$

3. Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine O du repère.
$M$, appartenant à la droite $\mathscr{D}$, est le plus proche de $O$ quand $\rho$ est le plus petit c’est-à-dire quand $\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$ est le plus grand soit quand $\theta=\dfrac{\pi}{4}$.