Baccalauréat S (obligatoire) Polynésie 5 septembre 2017 - Exercice 3

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Exercice 3 3 points


Trigonométrie


On rappelle que pour tout réel $a$ et tout réel $b$, \[\cos(a - b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b).\] Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On considère la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = - x + 2$.

  1. Montrer que si le réel $\theta$ appartient à l'intervalle $\left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[$, alors $\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) > 0$.
  2. Soit $M$ un point du plan complexe d'affixe $z$ non nulle. On note $\rho = |z|$ le module de $z$ et $\theta = \text{arg}(z)$ un argument de $z$ ; les nombres $\rho$ et $\theta$ sont appelés coordonnées polaires du point $M$. Montrer que le point $M$ appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement si ses coordonnées polaires sont liées par la relation : \[\rho = \dfrac{\sqrt{2}}{\cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)}, \:\text{avec }\:\theta \in \left]- \dfrac{\pi}{4}~;~ \dfrac{3\pi}{4}\right[ \:\text{et}\: \rho > 0.\]
  3. Déterminer les coordonnées du point de la droite $\mathcal{D}$ le plus proche de l'origine O du repère.

 

Correction Exercice 3
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