Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Annales S 2016.

Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2016

 

 

Exercice 1 6 points

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ par \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.\] On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.\] Figure

Partie A - Étude graphique

  1. Donner une interprétation graphique de $u_n$.
  2. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
  3. Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de $u_4$ d'amplitude $0,05$.

Partie B - Étude théorique

  1. Montrer que $u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
  2. Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$.
  3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.
  4. On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$.
    1. Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.
    2. Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l'intervalle [0~;~1].
  5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
  6. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    1. Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.\]
    2. En déduire la valeur de $\ell$.
    3. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné. Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l'algorithme suivant. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :} &N \text{ est un entier naturel non nul}\\ \text{Variables :} &U \text{ est un nombre réel }\\ &K \text{ est un entier naturel }\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter 1 à } K\\ &\text{ Affecter } 1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right) \text{ à } U\\ &\text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N\\ \text{Traitement :} & \text{ Tant que } K < N\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } U\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } K\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}$$

Correction de l'exercice 1 (6 points)


Commun à tous les candidats

 

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb R$ par \[f_n(x) = \dfrac{\text{e}^{-(n-1)x}}{1 + \text{e}^{x}}.\] On désigne par $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de $f_n$ dans le repère $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$. On a représenté ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_n$ pour différentes valeurs de $n$. Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.\] Figure

Partie A - Étude graphique

  1. Donner une interprétation graphique de $u_n$.
  2. $u_n$ correspond à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$ et les droites d’équation $x=0$ et $x=1$.
    $\quad$
  3. Quelles conjectures peut-on faire concernant les variations et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
  4. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $0$.
    $\quad$
  5. Proposer, à l'aide du graphique et en expliquant la démarche, un encadrement de $u_4$ d'amplitude $0,05$.

  6. L’aire de la surface verte s’obtient comme la somme des aires de deux trapèzes et d’un triangle : $4+6+2,5=12,5$ carrés d’aire 0,01.
    L’aire de la surface limitée par les axes et la ligne marron se décompose en $10,5+3+3,5=17$ aires de carrés d’aire 0,01.
    On en déduit que $0,125 <u_4 < 0,17$.
    On a donc $$0,12<u_4<0,17$$

Partie B - Étude théorique

  1. Montrer que $u_0 = \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right)$.
  2. $\quad$$$\begin{align*} u_0 &=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {-(0-1)x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ x}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\Big[\ln\left(1+\text{e}^ x\right)\Big]_0^1 \\ &=\ln(1+\text{e})-\ln 2\\ &=\ln \left(\dfrac{1+\text{e}}{2}\right)
    \end{align*}$$
    $\quad$
  3. Montrer que $u_0 + u_1 = 1$ puis en déduire $u_1$.
  4. $$\begin{align*} u_0+u_1&=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {-(0-1)x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x + \int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {-(1-1)x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x\\ &=\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x + \int_0^1 \dfrac{1}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1 \dfrac{1+\text{e}^ {x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1 1\text{d}x \\ &=\Big[x\Big]_0^1 \\ &=1-0\\ &=1
    \end{align*}$$
    Donc $u_1=1-u_0=1-\ln \left(\dfrac{1+\text{e}}{2}\right)$
    $\quad$
  5. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \geqslant 0$.
  6. La fonction exponentielle est une fonction strictement positive.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x$ on a $f_n(x) \geq 0$.
    On intègre une fonction continue positive sur l’intervalle $[0;1]$.
    Par conséquent $u_n \geq 0$.
    $\quad$
  7. On pose pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ réel, $d_n(x) = f_{n+1}(x) - f_n(x)$.
    1. Montrer que, pour tout nombre réel $x, d_n(x) = \text{e}^{- nx} \frac{1 - \text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$.

    2. $$\begin{align*} d_n&=f_{n+1}(x)-f_n(x) \\ &=\dfrac{\text{e}^ {-nx}}{1+\text{e}^ x}-\dfrac{\text{e}^ {-(n-1)x}}{1+\text{e}^ x} \\ &=\dfrac{\text{e}^ {-nx}-\text{e}^ {-(n-1)x}}{1+\text{e}^ x} \\ &=\dfrac{\text{e}^ {-nx}\left(1-\text{e}^ x\right)}{1+\text{e}^ x} \\ &=e^{-nx}\dfrac{1-\text{e}^ x}{1+\text{e}^ x}
      \end{align*}$$
      $\quad$
    3. Étudier le signe de la fonction $d_n$ sur l'intervalle [0~;~1].
    4. La fonction exponentielle est strictement positive.
      Par conséquent le signe de $d_n(x)$ ne dépend que de celui de $1-\text{e}^ x$.
      Or, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, on a $\text{e}^ x\geq 1$.
      Par conséquent, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;1]$, $d_n(x)\leq 0$.
      Sur l’intervalle $[0;1]$, la fonction $d_n$ est donc négative.
      $\quad$
  8. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
  9. $u_{n+1}-u_n=\displaystyle \int_0^1 d_n(x)\text{d}x$.
    Puisque $d_n(x) \leq 0$ sur $[0;1]$, cela signifie donc que $u_{n+1}-u_n\leq 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent décroissante.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle est donc convergente.
  10. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    1. Montrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : \[u_n + u_{n + 1} = \dfrac{1 - \text{e}^{- n}}{n}.\]

    2. $$\begin{align*} u_n+u_{n+1}&=\int_0^1\dfrac{\text{e}^ {-(n-1)x}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x+\int_0^1 \dfrac{\text{e}^ {-nx}}{1+\text{e}^ x} \\ &=\int_0^1\dfrac{\text{e}^ {-(n-1)x}+\text{e}^ {-nx}}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1\dfrac{\text{e}^ {-nx}\left(\text{e}^ {x}+1\right)}{1+\text{e}^ x}\text{d}x \\ &=\int_0^1 \text{e}^ {-nx}\text{d}x \\ &=\Big[-\dfrac{\text{e}^ {-nx}}{n}\Big]_0^1\\ &=-\dfrac{\text{e}^ {-n}}{n}+\dfrac{1}{n}\\ &=\dfrac{1-\text{e}^ {-n}}{n}
      \end{align*}$$
      $\quad$
    3. En déduire la valeur de $\ell$.
    4. D’une part $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n+u_{n+1}=2\ell$.
      D’autre part $\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^ {-n}=0$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1-\text{e}^ {-n}}{n}=0$.
      Par conséquent $2\ell = 0$ et $\ell = 0$.
      $\quad$
    5. On souhaite construire un algorithme qui affiche la valeur de $u_N$ pour un entier naturel $N$ non nul donné. Recopier et compléter les quatre lignes de la partie Traitement de l'algorithme suivant. $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :} &N \text{ est un entier naturel non nul}\\ \text{Variables :} &U \text{ est un nombre réel }\\ &K \text{ est un entier naturel }\\ \text{Initialisation :}& \text{ Affecter 1 à } K\\ &\text{ Affecter } 1 - \ln \left(\frac{1 + \text{e}}{2}\right) \text{ à } U\\ &\text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } N\\ \text{Traitement :} & \text{ Tant que } K < N\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } U\\ &\text{ Affecter } \ldots \ldots \ldots \text{ à } K\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}$$
    6. On obtient l’algorithme suivant :
      Entrée :
      $\quad$ $N$ est un entier naturel non nul
      Variables :
      $\quad$ $U$ est un nombre réel
      $\quad$ $K$ est un entier naturel
      Initialisation :
      $\quad$ Affecter $1$ à $K$
      $\quad$ Affecter $1-\ln \left(\dfrac{1+\text{e}}{2}\right)$ à $U$
      $\quad$ Demander à l’utilisateur la valeur de $N$
      Traitement :
      $\quad$ Tant que $K<N$
      $\qquad$ Affecter $\dfrac{1-\text{e}^ {-K}}{K}-U$ à $U$
      $\qquad$ Affecter $K+1$ à $K$
      $\quad$ Fin Tant que
      Sortie :
      $\quad$ Afficher $U$
      $\quad$

Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{B}~;~\vec{\text{BA}},\: \vec{\text{BC}},\: \vec{\text{BF}}\right)$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BH).
  2. Démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG).
  3. Déterminer une équation cartésienne du plan (DEG).
  4. On note P le point d'intersection du plan (DEG) et de la droite (BH). Déduire des questions précédentes les coordonnées du point P.
  5. Que représente le point P pour le triangle DEG ? Justifier la réponse.

Correction de l'exercice 2 (3 points)


Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH de côté 1.

On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{B}~;~\vec{\text{BA}},\: \vec{\text{BC}},\: \vec{\text{BF}}\right)$.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BH).
  2. Dans le repère orthonormé $\left(B;\vec{BA},\vec{BC},\vec{BF}\right)$ on a $B(0;0;0)$ et $H(1;1;1)$.
    Ainsi $\vec{BH}(1;1;1)$.
    Une équation paramétrique de la droite $(BH)$ est donc $\begin{cases} x=t\\y=t \qquad t\in\mathbb R\\z=t\end{cases}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la droite (BH) est perpendiculaire au plan (DEG).
  4. On a $D(1;1;0)$, $E(1;0;1)$ et $G(0;1;1)$
    Ainsi $\vec{DE}(0;-1;1)$ et $\vec{DG}(-1;0;1)$.
    Par conséquent $\vec{BH}.\vec{DE}=0-1+1=0$ et $\vec{BH}.\vec{DG}=-1+0+1=0$.
    Les deux vecteurs $\vec{DE}$ et $\vec{DG}$ ne sont clairement pas colinéaires.
    Par conséquent, le vecteur $\vec{BH}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(DEG)$ : la droite $(BH)$ est donc perpendiculaire au plan $(DEG)$.
    $\quad$
  5. Déterminer une équation cartésienne du plan (DEG).
  6. Le vecteur $\vec{BH}$ est normal au plan $(DEG)$.
    Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme : $$x+y+z+d=0$$
    Le point $D$ appartient à ce plan. Ses coordonnées vérifient alors son équation.
    Ainsi $1+1+0+d=0$ et $d=-2$.
    Une équation cartésienne de $(DEG)$ est donc $x+y+z-2=0$.
    $\quad$
  7. On note P le point d'intersection du plan (DEG) et de la droite (BH). Déduire des questions précédentes les coordonnées du point P.
  8. Le point $P(x;y;z)$ vérifient à la fois l’équation cartésienne du plan $(DEG)$ et l’équation paramétrique de la droite $(BH)$.
    par conséquent, en injectant les équations paramétriques dans l’équation cartésienne, on obtient :
    $t+t+t-2=0$ doit $t=\dfrac{2}{3}$
    Cela signifie, par conséquent, que les coordonnées de $P$ sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}\right)$.
    $\quad$
  9. Que représente le point P pour le triangle DEG ? Justifier la réponse.
  10. Montrons que $P$ est le centre de gravité du triangle $DEG$.
    On appelle $I$ le milieu du segment $[DE]$
    Ainsi $I\left(1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$
    Et $\vec{GI}\left(1;-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$
    Or $\vec{GP}\left(\dfrac{2}{3};-\dfrac{1}{3};-\dfrac{1}{3}\right)$.
    Par conséquent $\vec{GP}=\dfrac{2}{3}\vec{GI}$.
    $P$ est bien le centre de gravité du triangle $DEG$.
    $\quad$
    Chacun des côtés du triangle $DEG$ est une diagonale d’une face du cube. Le triangle $DEG$ est donc équilatéral.
    Par conséquent $P$ est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle, son orthocentre et le centre de son cercle inscrit.

 


Exercice 3 5 points


QCM

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

  1. On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes et (E) l'équation d'inconnue complexe $z$ \[(E) :\quad z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0,\] où $a$ désigne un nombre réel quelconque.
    • Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n'a pas de solution dans $\mathbb C$.
    • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
    • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
    • Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle.
  2. Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ et $z$ le nombre complexe $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$. Pour tout réel $\theta$ dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ :
    • Le nombre $z$ est un réel positif.
    • Le nombre $z$ est égal à 1.
    • Un argument de $z$ est $\theta$.
    • Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
  3. Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par \[f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.\]
    • La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{4}~; ~+ \infty \right[$.
    • Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. On a $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
    • La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
    • Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \text{e}^{-x} (\cos x - \sin x)$. La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
  4. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$. $0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
    • $P(X = 30)$
    • $P(X \leqslant 60)$
    • $P(X \leqslant 30)$
    • $P(30 \leqslant X \leqslant 40)$

 


Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et recopiera la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

  1. On note $\mathbb C$ l'ensemble des nombres complexes et (E) l'équation d'inconnue complexe $z$ \[(E) :\quad z^2 + 2az + a^2 + 1 = 0,\] où $a$ désigne un nombre réel quelconque.
    • Pour toute valeur de $a$, $(E)$ n'a pas de solution dans $\mathbb C$.
    • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont distincts.
    • Pour toute valeur de $a$, les solutions de $(E)$ dans $\mathbb C$ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
    • Il existe une valeur de $a$ pour laquelle $(E)$ admet au moins une solution réelle.
  2. Calculons le discriminant de cette équation du second degré :
    $\Delta = 4a^2-4\left(a^2+1\right) = -4$.
    L’équation $(E)$ possède donc deux solutions complexes (non réelles) conjuguées (donc même module).
    Pour toute valeur de $\boldsymbol{a}$, les solutions de $ (E) $ dans $ \mathbb C $ ne sont pas réelles et leurs modules sont égaux.
  3. Soit $\theta$ un nombre réel dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ et $z$ le nombre complexe $z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$. Pour tout réel $\theta$ dans l'intervalle $]0~;~\pi[$ :
    • Le nombre $z$ est un réel positif.
    • Le nombre $z$ est égal à 1.
    • Un argument de $z$ est $\theta$.
    • Un argument de $z$ est $\dfrac{\theta}{2}$.
  4. On peut raisonner par élimination. Mais on peut aussi chercher la forme exponentielle de $z$.
    $$\begin{align*}z&=1+\text{e}^ {\text{i} \theta} \\ &=\text{e}^ 0+\text{e}^ {\text{i} \theta} \\ &=\text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}}\left(\text{e}^ {-\frac{\text{i} \theta}{2}}+\text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}}\right) \\ &=2\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) \text{e}^ {\frac{\text{i} \theta}{2}}
    \end{align*}$$
    Car, pour tout réel $x$, $\cos(x)=\dfrac{\text{e}^ {\text{i} x}+\text{e}^ {-\text{i} x}}{2}$.
    Puisque $\theta$ appartient à l’intervalle $]0;\pi[$ alors $\dfrac{\theta}{2}$ appartient à $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$. Ainsi $2\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right) > 0$.
    On a donc obtenu la forme exponentielle de $z$.
    Un argument de $ z $ est $ \dfrac{\theta}{2} $.
    $\quad$
  5. Soit la fonction $f$ définie et dérivable pour tout nombre réel $x$ par \[f(x) = \text{e}^{-x} \sin x.\]
    • La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $\left]\frac{\pi}{4}~; ~+ \infty \right[$.
    • Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. On a $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$.
    • La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
    • Soit $F$ la fonction définie, pour tout réel $x$, par $F(x) = \text{e}^{-x} (\cos x - \sin x)$. La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
  6. $f'(x)=-\text{e}^ {-x}\sin x+\text{e}^ {-x}\cos x=\text{e}^ {-x}\left(\cos(x)-\sin(x)\right)$
    $f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\text{e}^ {-\pi/4}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) = 0$
    Soit $ f’ $ la fonction dérivée de $ f $. On a $ f’\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0 $.
    $\quad$
  7. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $0,02$. $0,45$ est une valeur approchée à $10^{-2}$ près de :
    • $P(X = 30)$
    • $P(X \leqslant 60)$
    • $P(X \leqslant 30)$
    • $P(30 \leqslant X \leqslant 40)$
  8. On a $P(X\leq 30) = 1-\text{e}^ {-0,02\times 30} \approx 0,45$.
    $\boldsymbol{P(X\leq 30) \approx 0,45}$

 


Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de $n$ jours. Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.

Partie A

 

  1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.
  2. Déterminer $a_1$ et $b_1$.
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
  4. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
    1. Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
    2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
    3. Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).

 

Partie B

 

  1. On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
    1. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
    2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \[X_{n+1} = DX_n + B.\]
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $Y_n = X_n - 10B$.
    1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = DY_n$.
    2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $Y_n = D^nY_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
    3. Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
  3. Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?

Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de $n$ jours. Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.

Partie A

 

  1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.

  2. où on appelle $F_n$ l’événement “l’ordinateur est défaillant le jour $n$”.

  3. Déterminer $a_1$ et $b_1$.
  4. On a $a_0=0,4$ et $b_0=0,6$
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $a_1=0,4\times 0,97+0,6\times 0,07 = 0,43$
    Donc $b_1=1-a_1=0,57$.
  5. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
  6. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $a_{n+1}=a_n\times 0,97+b_n\times 0,07$ et $b_{n+1}=a_n\times 0,03+b_n\times 0,93$.
    $\quad$
  7. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
    1. Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
    2. $AX_n=\begin{pmatrix} 0,97a_n+0,07b_n\\0,03a_n+0,93b_n\end{pmatrix}=X_{n+1}$
      $\quad$
    3. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
    4. Initialisation : Si $n=0$, $A^0X_0=I_2X_0=X_0$ où $I_2$ est la matrice identité.
      La propriété est vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $X_n=A^nX_0$
      $X_{n+1}=AX_n=A\times A^nX_0=A^{n+1}X_0$
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ : $X_n=A^nX_0$.
      $\quad$
    5. Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).
    6. $X_{30}\approx \begin{pmatrix}0,687\\0,313\end{pmatrix}$
      Cela signifie donc, qu’au bout de $30$ jours, $68,7\%$ des ordinateurs n’ont pas de failles de sécurité.
      $\quad$

 

Partie B

 

  1. On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
    1. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
    2. A tout instant, un ordinateur présente ou ne présente pas de failles de sécurité donc $a_{n+1}+b_{n+1}=1$ pour tout entier naturel $n$.
      $\quad$
    3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \[X_{n+1} = DX_n + B.\]
    4. $DX_n+B=\begin{pmatrix}0,9a_n+0,07\\0,09b_n+0,03\end{pmatrix}$
      Or :
      $\begin{align*} a_{n+1}&=0,97a_n+0,07b_n \\ &=0,97a_n+0,07\left(1-a_n\right) \\ &=0,07-0,9a_n
      \end{align*}$
      Et
      $\begin{align*} b_{n+1}a&=0,03a_n+0,93b_n\\ &=0,03\left(1-b_n\right)+0,93b_n \\ &=0,03+0,9b_n
      \end{align*}$
      Pour tout entier naturel $n$, on a $X_{n+1}=DX_n+B$.
      $\quad$
  2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $Y_n = X_n - 10B$.
    1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = DY_n$.

    2. $$\begin{align*}Y_{n+1}&=X_{n+1}-10B \\ &=DX_n+B-10B\\ &=DX_n-9B\\ &=DX_n-10DB\\ &=D\left(X_n-10B\right)\\ &=DY_n
      \end{align*}$$
    3. On admet que pour tout entier naturel $n$, $Y_n = D^nY_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
    4. Pour tout entier naturel $n$ on a :
      $X_n=Y_n+10B=D^nY_0+10B=D^n\left(X_0-10B\right)+10B$
      $\quad$
    5. Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
    6. Pour tout entier naturel $n$ on a $D^n=\begin{pmatrix}0,9^n&0\\0&0,9^n\end{pmatrix}$
      Donc $a_{n+1}=0,9^n(0,4-0,7)+0,7 = -0,3\times 0,9^n+0,7$
      Et $b_{n+1}=0,9^n(0,6-0,3)+0,3=0,3\times 0,9^n+0,3$
      $\quad$
  3. Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?
  4. $-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,9^n = 0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n \to +\infty} a_n=0,7$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} b_n=0,3$.
    Sur le long terme, $70\%$ des ordinateurs seront sains et $30\%$ présenteront des failles de sécurité.