Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2016 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Parmi les ordinateurs d'un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce problème, on demande à un technicien d'intervenir chaque jour pour traiter les défaillances. On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d'ordinateurs est constant sur la période étudiée.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la proportion d'ordinateurs sains de ce parc informatique au bout de $n$ jours d'intervention, et $b_n$ la proportion d'ordinateurs défaillants au bout de $n$ jours. Ainsi $a_0 = 0,4$ et $b_0 = 0,6$.

Partie A

 

1. Décrire la situation précédente à l'aide d'un graphe ou d'un arbre pondéré.
2. Déterminer $a_1$ et $b_1$.
3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
4. Soit la matrice $A = \begin{pmatrix}0,97&0,07\\0,03 &0,93\end{pmatrix}$. On pose $X_n = \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que pour tout entier naturel $n, \:X_{n+1} = AX_n$.
   2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n,\: X_n = A^n X_0$.
   3. Calculer, à l'aide de la calculatrice, $X_{30}$. En donner une interprétation concrète (les coefficients seront arrondis au millième).

 

Partie B

 

1. On pose $D = \begin{pmatrix}0,9&0\\0 &0,9\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,07\\ 0,03\end{pmatrix}$.
   1. Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} + b_{n+1} = 1$.
   2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, \[X_{n+1} = DX_n + B.\]
2. On pose, pour tout entier naturel $n$, $Y_n = X_n - 10B$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $Y_{n+1} = DY_n$.
   2. On admet que pour tout entier naturel $n$, $Y_n = D^nY_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n$, \:$X_n = D^n\left(X_0 - 10B\right) + 10B$.
   3. Donner l'expression de $D^n$ puis en déduire $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $n$.
3. Selon cette étude, que peut-on dire de la proportion d'ordinateurs défaillants sur le long terme ?