Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.

  • On considère le système $\left\{\begin{array}{l c l} n &\equiv & 1 \quad [5]\\ n &\equiv & 3 \quad[4] \end{array}\right.$ d'inconnue $n$ entier relatif.
  • Affirmation 1 : Si $n$ est solution de ce système alors $n - 11$ est divisible par 4 et par 5.
  • Affirmation 1 : vraie
    Soit $n$ une solution de ce système
    Alors $n-11 \equiv 1-11 \quad [5] \iff n-11 \equiv -10 \quad [5] \iff \equiv n-11 \equiv 0 \quad [5]$
    $n-11$ est donc divisible par $5$.
    Et $n-11 \equiv 3-11 \quad [4] \iff n-11 \equiv -8 \quad [4] \iff n-11 \equiv 0 \quad [4]$.
    $n-11$ est donc également divisible par $4$.
  • Affirmation 2 : Pour tout entier relatif $k$, l'entier $11 + 20k$ est solution du système.
  • Affirmation 2 : vraie
    Soit $k$ un entier relatif et $n=11+20k$.
    $11 \equiv 1 \quad [5]$ donc $n=11+5\times 4k \equiv 1 \quad [5]$.
    $11 \equiv 3 \quad [4]$ donc $n=11 +4\times 5k \equiv 3 \quad [4]$.
    Ainsi $n$ est bien solution du système.

  • Affirmation 3 : Si un entier relatif $n$ est solution du système alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 11 + 20k$.
  • Affirmation 3 : vraie
    $11$ est une solution évidente du système.
    Soit $n$ une autre solution.
    Par différence, on obtient : $\begin{cases} n-11 \equiv 0 \quad [5] \\n-11\equiv 0 \quad [4] \end{cases}$
    Ainsi $n-11$ est divisible à la fois par $4$ et $5$ qui sont premiers entre eux.
    D’après le théorème de Gauss, $20=4\times 5$ divise $n-11$.
    Il existe donc un entier relatif $k$ tel que $n-11=20k$ soit $n=11+20k$.
  • Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans l'état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste ci-dessous.

    Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans l'état A après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité que l'automate se trouve dans l'état B après $n$ secondes. Au départ, l'automate est dans l'état B.
     On considère l'algorithme suivant :
    $$\begin{array}{ |l|l|} \hline \text{ Variables: } & a \text{ et } b \text{ sont des réels}\\ \text{Initialisation:} & a \text{ prend la valeur } 0\\ & b \text{ prend la valeur } 1\\ \text{Traitement: } &\text{Pour } k \text{ allant de 1 à 10} \\ &\hspace{0.4cm} a \text{ prend la valeur } 0,8a + 0,3b \\ &\hspace{0.4cm} b \text{ prend la valeur } 1 - a \\ &\text{ Fin Pour }\\ \text{Sortie: } &\text{Afficher } a \\ &\text{Afficher } b \\ \hline \end{array} $$
  • Affirmation 4 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de $a_{10}$ et $b_{10}$  .
  • Affirmation 4 : fausse
    D’après le graphe probabiliste on peut dire que, pour tout entier naturel $n$ on a $a_{n+1}=0,3a_n+0,8b_n$
    Or l’algorithme donne la valeur $0,8a+0,3b$ à $a$.
  • Affirmation 5 : Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état A que d'être dans l'état B.
  • Affirmation 5 : vraie
    On calcule les différentes valeurs de $a_n$ et $b_n$:
    $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n&0&1&2&3&4 \\
    \hline
    a_n&0&0,8&0,4&0,6&0,5 \\
    \hline
    b_n&1&0,2&0,6&0,4&0,5 \\
    \hline
    \end{array}$
    Il y a donc équiprobabilité d’être dans l’état A que dans l’état B après $4$ secondes

Une autrre façon de le voir !

Exercice 5
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