Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points


Fonctions et calcul intégral


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : \[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{1 - x}}.\]

Partie A

 

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 1].
  2. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0;1], $f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + \text{e}}$ (on rappelle que $\text{e} = \text{e}^1$).
  3. Montrer alors que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x = \ln (2) + 1 - \ln (1 + \text{e})$.

 

Partie B


Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies sur [0;1] par: \[f_n(x) = \dfrac{1}{1 + n\text{e}^{1 - x}}.\] On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé. On considère la suite de terme général \[u_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\:\text{d}x.\]

  1. On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions $f_n$ pour $n$ variant de 1 à 5. Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathcal{C}_0$ représentative de la fonction $f_0$.
  2. Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et préciser la valeur de $u_0$.
  3. Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? Démontrer cette conjecture.
  4. La suite $\left(u_n\right)$ admet-elle une limite ?

Annexe Ex3

Correction Exercice 3
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