Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats

 


Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s'entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive. Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.
Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.

Partie A


Le joueur s'apprête à recevoir une série de 20 balles.

  1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?
  2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

    • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
    • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

    Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$


    On veut calculer $P(X=10)=\displaystyle \binom{20}{10}\times 0,5^{10}\times 0,5^{20-10}\approx 0,176$.

    2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
    Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

    $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
  3. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?
  4. Méthode 1 : On veut calculer $P(5 \leqslant X \leqslant 10)=P(X \leqslant 10)-P(X \leqslant 4) \approx 0,582$.
    Méthode 2 :

    2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\5) -2ND DISTR A binomFRép( \1 , \2,\3)EXE


    Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\5)-binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \6$$

    $$P( \4 \leq \7\leq\5 )\approx \6 \text{ à } 10^{-\8} \text{ près.}$$

    En vidéo !

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Partie B

 

Le lance-balle est équipé d'un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite. Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l'appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 


Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :

$\begin{align*} I_{100} &=\left[0,5-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,5\times 0,5}}{\sqrt{100}};0,5-1,96\times \dfrac{\sqrt{0,5\times 0,5}}{\sqrt{100}}\right] \\\\
&=[0,402;0,598]
\end{align*}$
La fréquence observée est $f=0,42 \in I_{100}$.
Au risque d’erreur de $5\%$ l’appareil fonctionne correctement.

Partie C

 

Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées » soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche. Les réglages de l'appareil permettent d'affirmer que :
  • la probabilité que le lance-balle envoie une balle liftée à droite est $0,24$ ;
  • la probabilité que le lance-balle envoie une balle coupée à gauche est $0,235$.

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu'elle soit envoyée à droite ?

On appelle $D$ l’événement « la balle est envoyée à droite » et $L$ l’événement « la balle est liftée ».

On a ainsi $p(D\cap L)=0,24$ et $p\left(\overline{D}\cap \overline{L}\right)=0,235$

Ainsi $p_D(L)=\dfrac{p(D \cap L)}{p(D)}=\dfrac{0,24}{0,5}=0,48$.
Par conséquent $p_D\left(\overline{L}\right)=0,52$.
Donc $p\left(D\cap \overline{L}\right)=0,5 \times 0,52 = 0,26$.

D’après la formule des probabilités totales on a :
$$\begin{align*} p\left(\overline{L}\right)&=p\left(D\cap \overline{L}\right)+p\left(\overline{D}\cap \overline{L}\right) \\
&=0,26+0,235 \\
&=0,495
\end{align*}$$

Ainsi $p_{\overline{L}}(D) = \dfrac{p\left(D\cap \overline{L}\right)}{p\left(\overline{L}\right)}=\dfrac{0,26}{0,495}\approx 0,525$.

$\quad$

Exercice 3
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