Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (4 points)


Commun à tous les candidats

 


On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques ayant pour base commune le carré ABCD de centre I.
Une représentation en perspective de ce solide est donnée  en annexe (à rendre avec la copie) .
Toutes les arêtes sont de longueur $1$. L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A};\vec{\text{AB}},\vec{\text{AD}},\vec{\text{AK}}\right)$.

    1. Montrer que IE $= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. En déduire les coordonnées des points I, E et F.
    2. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ on applique le théorème de Pythagore.
      $AC^2=AB^2+BC^2 = 2$ donc $AC= \sqrt{2}$
      $ABCD$ est un carré donc ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu.
      Ainsi : $IC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
      Dans le triangle $IEC$ rectangle en $I$ on applique le théorème de Pythagore.
      Par conséquent $IE^2+IC^2=EC^2$
      Donc $IE^2+\dfrac{2}{4}=1$ soit $IE^2=\dfrac{1}{2}$.
      Et $IE=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
      $\quad$
      $\vec{AI}=\dfrac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right)$.
      Donc les coordonnées de $I$ sont $(0,5;0,5;0)$.
      Et $E$ a pour coordonnées $\left(0,5;0,5;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
      On en déduit donc que les coordonnées de $F$ sont $\left(0,5;0,5;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
      $\quad$
    3. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\- 2\\\sqrt{2}\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABE).
    4. On a $\vec{AB}(1;0;0)$ et $\vec{AE}\left(0,5;0,5;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
      Par conséquent $\vec{n}.\vec{AB}=0+0+0=0$
      Et $\vec{n}.\vec{AE}=-2\times 0,5+\dfrac{2}{2}=-1+1=0$.
      Les deux vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AE}$ ne sont clairement pas colinéaires.
      Ainsi le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABE)$. Il est donc normal à ce plan.
      $\quad$
    5. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABE).
    6. Une équation cartésienne de $(ABE)$ est donc de la forme :
      $-2y+\sqrt{2}z+d=0$.
      Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $0+d=0$ et $d=0$.
      Une équation cartésienne de $(ABE)$ est alors $-2y+\sqrt{2}z=0$.
      $\quad$
  1. On nomme M le milieu du segment [DF] et N celui du segment [AB].
    1. Démontrer que les plans (FDC) et (ABE) sont parallèles.
      • Méthode 1 : $ABCD$ est un carré donc $\vec{AB} = \vec{DC}$.
        $\vec{AE}\left(0,5;0,5;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ et $\vec{FC}\left(0,5;0,5;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Donc $\vec{AE}=\vec{FC}$
        Par conséquent deux vecteurs non colinéaires du plan $(FDC)$ sont colinéaires à deux vecteurs du plan $(ABE)$.
        Les deux plans sont donc parallèles.
      • Méthode 2 : On prouve que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(FDC)$
  2. Déterminer l'intersection des plans (EMN) et (FDC).
  3. Le point $M$ appartient au plan $(EMN)$ et à $[DF]$.
    Il appartient donc à l’intersection des plans $(EMN)$ et $(FDC)$.
    On appelle $H$ le point de coordonnées $(0,25;1;0)$.
    Il appartient à $[DC]$.
    $M$ est le milieu de $[DF]$ donc ses coordonnées sont $\left(0,25;0,75;\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$.
    Ainsi $\vec{MH}\left(0;0,25;-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)$.
    On a également $N(0,5;0;0)$
    Donc $\vec{NE}\left(0;0,5;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
    Ainsi $\vec{NE}=2\vec{MH}$.
    Puisque $N$, $M$ et $E$ appartiennent au plan $(EMN)$ $H$ aussi.
    $H$ appartient donc également à l’intersection des plans $(EMN)$ et $(FDC)$.
    L’intersection de ces deux plans est par conséquent la droite $(MH)$.
    $\quad$
    Autre solution pour déterminer graphiquement H :
    Les plans $(FDC)$ et $(ABE)$ sont parallèles. Par conséquent les intersections du plan $(EMN)$ avec ces deux plans sont parallèles.
    $(EN)$ est l’intersection de $(EMN)$ et de $(AEB)$.
    On trace donc la parallèle à $(EN)$ passant par $M$. Elle coupe $(DC)$ en $H$.
  4. Construire sur l' annexe (à rendre avec la copie)  la section du solide ADECBF par le plan (EMN).

    Annexe de l'exercice 1 ( A rendre avec la copie)

  5. Les points $E$, $N$, $M$ et $H$ appartiennent à cette section.
    On construit le point $J$ comme intersection entre la droite parallèle à $(EH)$ passant par $N$ et le segment $[AF]$ puisque les plans $(EDC)$ et $(ABF)$ sont parallèles (mêmes argument que pour la question 2.a.
Exercice 2
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