Baccalauréat S Pondichéry 22 avril 2016 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

On considère les matrices $M$ de la forme $M = \begin{pmatrix}a&b\\5&3\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers. Le nombre $3a - 5b$ est appelé le déterminant de $M$. On le note det$(M)$. Ainsi det$(M) = 3a - 5b$.

1. Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3&- b\\- 5&a\end{pmatrix}$. Justifier que $N$ est l'inverse de $M$.
2. On considère l'équation $(E) :\quad \text{det}(M) = 3$. On souhaite déterminer tous les couples d'entiers $(a~;~b)$ solutions de l'équation $(E)$.
   1. Vérifier que le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$.
   2. Montrer que le couple d'entiers $(a~;~b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si $3(a - 6) = 5(b - 3)$. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.

Partie B

 

1. On pose $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$. En utilisant la partie A, déterminer la matrice inverse de $Q$.
2.  Codage avec la matrice  $Q$ Pour coder un mot de deux lettres à l'aide de la matrice $Q = \begin{pmatrix}6 &3\\ 5& 3\end{pmatrix}$ on utilise la procédure ci-après :
   Étape 1 : On associe au mot la matrice $X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ où $x_1$ est l'entier correspondant à la première lettre du mot et $x_2$ l'entier correspondant à la deuxième lettre du mot selon le tableau de correspondance ci-dessous : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline\hline N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline 13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25\\ \hline \end{array} $$
   Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $Y = \begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ telle que $Y = QX$.
   Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ telle que $r_1$ est le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ est le reste de la division euclidienne de $y_2$ par 26.
   Étape 4 : À la matrice $R = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\end{pmatrix}$ on associe un mot de deux lettres selon le tableau de correspondance de l'étape 1. \[\text{Exemple :} \text{JE} \to X = \begin{pmatrix}9\\4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66\\57\end{pmatrix} \to R = \begin{pmatrix}14\\5\end{pmatrix} \to \text{OF}.\] Le mot JE est codé en le mot OF. Coder le mot DO.
3. Procédure de décodage On conserve les mêmes notations que pour le codage. Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.
   1. Démontrer que $3X = 3Q^{-1}Y$ puis que $\left\{\begin{array}{l c r} 3x_1&=&3r_1 - 3r_2 \quad [26]\\ 3x_2&=&-5r_1 + 6r_2 \quad [26] \end{array}\right.$
   2. En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $\left\{\begin{array}{l c r} x_1&\equiv& r_1 - r_2 \quad [26]\\ x_2&\equiv& 7r_1 + 2r_2 \quad [26] \end{array}\right.$
   3. Décoder le mot SG.