Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Spécialité

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A


On considère l'équation \[51x - 26y = 1\] où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs.

  1. Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution.
    1. Donner un couple solution $\left(x_0~;~y_0\right)$ de cette équation.
    2. Déterminer l'ensemble des couples solutions de cette équation.

 

Partie B


On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}}\hline A &B&C &D&E &F&G &H&I&J& K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S & T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{array} $$ Afin de coder une lettre de l'alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$. La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$.

  1. Coder la lettre N.
  2. En utilisant la partie A, déterminer l'entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $51a \equiv 1\:\:[26]$.
  3. Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne de $ay + 2$ par $26$.
  4. Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre N.
  5. On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?

 

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