Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


Soit ABCDEFGH le cube ci-dessous. 

On se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vec{\text{AB}},\: \vec{\text{AD}},\: \vec{\text{AE}}\right)$.

    1. Montrer que la droite (DB) admet pour représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{1 -}s\\ y &=& 1 - s ,\\ z &=& \phantom{1 -}0 \end{array}\right.,\: \text{où s décrit l'ensemble } \mathbb R\: \text{des nombres réels}.\]
    2. On a $B(1;0;0)$ et $D(0;1;0)$.
      En prenant $s=1$ dans la représentation paramétrique fournie, on retrouve les coordonnées de $B$.
      En prenant $s=0$ dans la représentation paramétrique fournie, on retrouve les coordonnées de $D$.
      Il s’agit donc bien d’une représentation paramétrique de la droite $(DB)$.
      $\quad$
    3. Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées $(t~;~t~;~t)$ où $t$ est un réel.
    4. On a $A(0;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
      Ainsi $\overrightarrow{AG}(1;1;1)$
      Une représentation paramétrique de $(AG)$ est par conséquent $\begin{cases}x=t\\y=t \quad t\in \mathbb R\\z=t\end{cases}$.
      Les points de la droite $(AG)$ sont donc bien les points de coordonnées $(t;t;t)$ où $t$ est un réel.
      $\quad$
  1. Soit $M$ un point quelconque de la droite (DB) et $N$ un point quelconque de la droite (AG). Démontrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire aux deux droites (AG) et (DB) si et seulement si $M$ et $N$ ont pour coordonnées respectives $\left(\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}~;~0\right)$ et $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
  2. On a $M(s;1-s;0)$ et $N(t;t;t)$. Ainsi $\overrightarrow{MN}(t-s;t+s-1;t)$.
    $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{MN} = t-s+t+s-1+t = 3t-1$ et $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{MN} = t-s-(t+s-1) = -2s+1$
    $\quad$
    $(MN)$ est perpendiculaire à $(AG)$ et $(DB)$
    si, et seulement si, $\overrightarrow{AG}.\overrightarrow{MN} =0$ et $\overrightarrow{DB}.\overrightarrow{MN} = 0$
    si, et seulement si, $3t-1=0$ et $-2s+1=0$
    si, et seulement si, $t=\dfrac{1}{3}$ et $s=\dfrac{1}{2}$
    si, et seulement si, $M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$ et $N\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$
    $\quad$
  3. Soit $s$ et $t$ deux réels quelconques. On note $M(s~;~1 - s~;~0)$ un point de la droite (DB) et $N(t~;~t~;~t)$ un point de la droite (AG).
    1. Montrer que $MN^2 = 3 \left(t - \frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6}$.

    2. $\begin{align*} MN^2&=(t-s)^2+(t+s-1)^2+t^2\\\\
      &=t^2-2st+s^2+t^2+2ts-2t+s^2-2s+1+t^2 \\\\
      &=3t^2-2t+2s^2-2s+1 \\\\
      &=3\left(t^2-\dfrac{2}{3}t\right) + 2(s^2-s)+1 \\\\
      &=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{1}{3}+ 2\left(s-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{2}+1 \\\\
      &=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2+ 2\left(s-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{6}
      \end{align*}$
      $\quad$
    3. En déduire la position des points $M$ et $N$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale. Que peut-on dire de la droite $(MN)$ dans ce cas ?
    4. On a donc $MN^2 \ge \dfrac{1}{6}$ et $MN^2 = \dfrac{1}{6}$ si, et seulement si, $t=\dfrac{1}{3}$ et $s=\dfrac{1}{2}$.
      La droite $(MN)$ est alors perpendiculaire aux droites $(AG)$ et $(DB)$.
      $\quad$

 

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