Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Soit ABCDEFGH le cube ci-dessous. 

On se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vec{\text{AB}},\: \vec{\text{AD}},\: \vec{\text{AE}}\right)$.

1. 1. Montrer que la droite (DB) admet pour représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{1 -}s\\ y &=& 1 - s ,\\ z &=& \phantom{1 -}0 \end{array}\right.,\: \text{où s décrit l'ensemble } \mathbb R\: \text{des nombres réels}.\]
   2. Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées $(t~;~t~;~t)$ où $t$ est un réel.
2. Soit $M$ un point quelconque de la droite (DB) et $N$ un point quelconque de la droite (AG). Démontrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire aux deux droites (AG) et (DB) si et seulement si $M$ et $N$ ont pour coordonnées respectives $\left(\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}~;~0\right)$ et $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
3. Soit $s$ et $t$ deux réels quelconques. On note $M(s~;~1 - s~;~0)$ un point de la droite (DB) et $N(t~;~t~;~t)$ un point de la droite (AG).
   1. Montrer que $MN^2 = 3 \left(t - \frac{1}{3}\right)^2 + 2\left(s - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{6}$.
   2. En déduire la position des points $M$ et $N$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale. Que peut-on dire de la droite $(MN)$ dans ce cas ?