Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Correction Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Commun à tous les candidats

Les trois questions sont indépendantes. Toute réponse doit être justifiée.

1. On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par \[u_0 = 1\quad \text{et pour tout entier naturel } \:n,\quad \ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1.\]
   La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?
On a $\ln\left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_n\right) -1 = \ln \dfrac{u_n}{\text{ e}}$.
Cela signifie donc que $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\text{ e}}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{\text{ e}}$ et de premier terme $u_0=1$.
$\quad$
2. Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: w_n = 1 - \ln \left(v_{n}\right)$.
   La proposition $(\mathcal{P})$ suivante est-elle vraie ou fausse ?
   \[(\mathcal{P}) : \text{si la suite }\:\left(v_{n}\right)\: \text{est majorée alors la suite }\:\left(w_{n}\right)\: \text{ est majorée.}\]
Prenons par exemple la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_n=\text{ e}^{-n}$.
Pour tout entier naturel $n$, on a $v_n \le 1$. La suite $\left(v_n\right)$ est donc majorée.
$w_n=1-\ln\left(v_n\right)=1-\ln \text{ e}^{-n} = 1-(-n)=1+n$.
La suite $\left(w_n\right)$ n’est donc pas majorée.
La proposition est donc fausse.
$\quad$
3. La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par \[z_0 = 2 + 3\text{i}  \text{  et, pour tout entier naturel  }\:n  \text{par}\: z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n.\] Pour quelles valeurs de $n$,$\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?
$\left|\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\text{ i}\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right|=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
On a donc $\left|z_{n+1}\right|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left|z_n\right|$.
La suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Son premier terme est $\left|z_0\right| = \sqrt{13}$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $\left|z_n\right|=\sqrt{13}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.
On cherche la plus petite valeur de $n$ telle que :
$\begin{align*} \sqrt{13}\times \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \le 10^{-20} &\Leftrightarrow \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n \le \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}} \\\\
&\Leftrightarrow n\ln \dfrac{\sqrt{2}}{2} \le \ln \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}} \\\\
&\Leftrightarrow n \ge \dfrac{\ln \dfrac{10^{-20}}{\sqrt{13}}}{\ln \dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\\\
&\Leftrightarrow 137
\end{align*}$
Par conséquent, pour tout entier naturel supérieur ou égal à $137$, $\left|z_n\right|\le 10^{20}$.
$\quad$