Baccalauréat S Antilles-Guyane septembre 2015 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)


Commun à tous les candidats

 


Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois.

  • 40% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ;
  • 25% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation « pur jus ».


Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de « pur jus » est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0 ; 1]. Par ailleurs, 20% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation « pur jus ».
On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse.
On définit les évènements suivants :
$R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ;
$J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de « pur jus ».

Partie A

 

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.
  2. Déterminer la valeur exacte de $x$.
  3. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} \phantom{\Leftrightarrow }p(J) &=p(R \cap J)+p\left(\overline{R} \cap J\right) \\\\
    \Leftrightarrow 0,2&=0,4 \times 0,25 + 0,6x \\\\
    \Leftrightarrow 0,1&=0,6x\\\\
    \Leftrightarrow x&=\dfrac{1}{6}
    \end{align*}$
    $\quad$
  4. Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de « pur jus ». Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange.
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_J(R)&=\dfrac{p(J\cap R)}{p(J)} \\\\
    &=\dfrac{0,4 \times 0,25}{0,2} \\\\
    &=\dfrac{1}{2}
    \end{align*}$
    $\quad$

 

Partie B


Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de « pur jus »  dans ce lot.
On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise.

  1. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.
  2. Il s’agit de $500$ tirages indépendants, avec remise, aléatoires ne présentant que deux issues : $J$ et $\overline{J}$. De plus $p(J)=0,2$.
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,2$.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de « pur jus ». On arrondira le résultat au millième.
  4. On veut calculer $P(X\ge 75) = 1-P(X \le 74) \approx 0,998$
    La probabilité qu’au moins $75$ bouteilles de cet échantillon soient pur jus est donc d’environ $99,8\%$.
    $\quad$

 

Partie C


Un fournisseur assure que 90% des bouteilles de sa production de pur jus d'orange contiennent moins de 2% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, $766$ bouteilles présentent moins de 2% de pulpe.

  1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2% de pulpe au seuil de 95%.
  2. On a $n=900$ et $p=0,9$
    Ainsi $n = 900 \ge 30 \checkmark$ $\quad np=810 \ge 5 \checkmark$ $\quad n(1-p) = 90 \ge 5 \checkmark$.
    Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ est donc :
    $\begin{align*} I_{900} &=\left[0,9-1,96\sqrt{\dfrac{0,9 \times 0,1}{900}};0,9+1,96\sqrt{\dfrac{0,9 \times 0,1}{900}}\right] \\\\
    & =[0,8804;0,9196]
    \end{align*}$
    $\quad$
  3. Que penser de l'affirmation du fournisseur ?
  4. La fréquence observée est $f=\dfrac{766}{900} \approx 0,851 \notin I_{900}$.
    Par conséquent, au risque de $5\%$ on peut remettre en question l’affirmation du fournisseur.
    $\quad$
Exercice 3
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