Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Fonctions
Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière. Voici ce schéma :

Partie A Modélisation

Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 8] par \[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad \text{où }\: a\:\: \text{et }\: b\: \text{sont deux entiers naturels.}\] La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre.

1. On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l'entier $b$.
2. On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut. Déterminer la valeur de l'entier $a$.

Partie B Un aménagement pour les visiteurs

On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel $x \in [1~;~8]$ par \[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\] Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 300 euros augmenté de 50 euros par mètre carré peint.

1. Soit $g$ la fonction définie sur [1 ; 8] par \[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\] Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$.
2. Quel est le montant du devis de l'artiste ?

Partie C Une contrainte à vérifier

Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan. On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. La figure suivante illustre la situation.

Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés.

1. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ; 8]. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1 ; 8], $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1 ; 8].
2. Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1 ; 8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$.
3. Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?