Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015 - Correction Exercice 2
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Correction de l'exercice 2 (4 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par: \[z' = z^2 + 4z + 3.\]
- Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé. Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. Un point invariant vérifie donc :
- Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe $\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$. Montrer que OAB est un triangle équilatéral. $OA = |z_1| = \sqrt{3} = |z_2| = OB$.
- Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels. Soit $z=x+\text{i} y$ alors :
- Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.
$z = z^2 +4z +3 \iff z^2 + 3z + 3=0$.
$\Delta = 3^2 – 4 \times 3 = -3<0$.
Cette équation possède donc deux solutions complexes :
$$z_1 = \dfrac{-3 -\text{i}\sqrt{3}}{2} \qquad z_2 = \dfrac{-3 +\text{i}\sqrt{3}}{2}$$
$|z_1| = \sqrt{\dfrac{(-3)^2 + 3}{2^2}} = \sqrt{3}$
Donc $z_1 = \sqrt{3} \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} -\dfrac{\text{i}}{2}\right) = \sqrt{3}\text{e}^{7\text{i}\pi/6} =\sqrt{3}\text{e}^{-5\text{i}\pi/6} $
Par conséquent $z_2 = \overline{z_1} = \sqrt{3}\text{e}^{5\text{i}\pi/6}$
$$\begin{array}{rl} AB &= |z_2 – z_1| \\ &=\left|\text{i}\sqrt{3}\right| \\ &=\sqrt{3}
\end{array}$$
Par conséquent le triangle $OAB$ est équilatéral.
$$\begin{array}{rl} z’ &= (x+\text{i} y)^2 + 4(x + \text{i} y) + 3\\ &=x^2-y^2 + 2\text{i} xy + 4x + 4\text{i} y + 3\\ &= x^2 – y^2 + 4x + 3 + \text{i}(2xy + 4y) \\ & = x^2 – y^2 + 4x + 3 + 2y \text{i}(x + 2)
\end{array}$$
$z’$ est un nombre réel si, et seulement si, $2y(x+2) = 0$ ce qui est équivalent à $y = 0$ ou $x= – 2$.
L’ensemble $\mathscr{E}$ est donc la réunion de l’axe des abscisses et de la droite d’équation $x=-2$
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