Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$

  1. On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2. Vérifier que $A^2 = A + 2I$.
  2. $A^2 = \begin{pmatrix} -2&6 \\-3&7 \end{pmatrix}$
    Or $A + 2I = \begin{pmatrix} -4 + 2&6 \\-3 &5 +2 \end{pmatrix} = A^2$
  3. En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme $\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels.
  4. On a ainsi
    $$\begin{array}{rl} A^3 &= A \times A^2 \\ &= A \left(A + 2I\right) \\ & = A^2 + 2A \\ & = A + 2I + 2A \\ & = 3A + 2I \end{array}$$
    $\quad$
    De même
    $$\begin{array}{rl} A^4 & = A \times A^3 \\ & = 3A^2 + 2A \\ &= 3A + 6I + 2A \\ &= 5A + 6I \end{array}$$
  5. On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[\left\{\begin{array}{l c l} r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\ s_{n+1}&=&2r_n \end{array}\right.\] Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$.
  6. Montrons cette propriété par récurrence.
    Initialisation :
    Pour $n = 0$, $A^0 = I = 0A + 1I = r_0A + s_0I$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité :
    Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $A^n = r_nA + s_nI$.
    Ainsi :
    $$\begin{array}{rl} A^{n+1} &= A \times A^{n} \\ &= A\left(r_n A + s_n I\right) \\ & = r_n A^2 + s_n A \\ & = r_nA + 2r_n I + s_n A \\ & = \left(r_n + s_n\right)A + 2r_n I \\ &= r_{n+1}A + s_{n+1}I
    \end{array}$$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion
    La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $A^n = r_n A + s_n I$.
  7. Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$.
  8. $$\begin{array}{rl} k_{n+1} &= r_{n+1} – s_{n+1} \\ &= r_n + s_n – 2r_n \\ & = s_n – r_n \\ & = -k_n \end{array}$$
    La suite $(k_n)$ est donc géométrique de raison $-1$ et de premier terme $k_0 = 0 – 1 = -1$.
    $\quad$
    Par conséquent $k_n = q^n k_0= -(-1)^n = (-1)^{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
  9. On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$.
  10. On a $t_1 = 1 + \dfrac{-1}{3} = \dfrac{2}{3}$
    Par conséquent $t_n =q^{n-1}\times t_1= \dfrac{2}{3} \times 2^{n-1}$.
    $\quad$
  11. Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$.
  12. On a donc $r_n = t_n – \dfrac{(-1)^n}{3} = \dfrac{2}{3} \times 2^{n-1} – \dfrac{(-1)^n}{3}$
    $$r_n = \dfrac{2^n -(-1)^n}{3}$$De plus
    $$\begin{array}{rl} s_n &= r_n – k_n \\ & = \dfrac{2}{3} \times 2^{n-1} – \dfrac{(-1)^n}{3} – (-1)^{n+1} \\ &= \dfrac{2}{3} \times 2^{n-1} + \dfrac{(-1)^{n+1}}{3} + (-1)^n \\ &= \dfrac{2^n}{3} - \dfrac{(-1)^{n }}{3} +\dfrac{3(-1)^{n }}{3} \\ &= \dfrac{2^n + 2 (-1)^{n } }{3} \end{array}$$
  13. En déduire alors, pour tout entier naturel $n$ non nul, une expression des coefficients de la matrice $A^n$.
  14. $$\begin{array}{rl} A ^n &=r_n A + s_n I\\ & = r_n \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix} + s_n \begin{pmatrix}1&0\\0& 1\end{pmatrix}\\ & = \begin{pmatrix}-4r_n+s_n&6r_n\\ 3r_n& 5r_n + s_n\end{pmatrix} \\ \end{array}$$ $-4r_n + s_n = -2\times 2^{n-1} + (-1)^n + (-1)^n = -2^n + 2(-1)^n$
    $5r_n + s_n = 4 \times 2^{n-1} – 2\times(-1)^n + (-1)^n = 2^{n+1} – (-1)^n$
    $6r_n = 4\times 2^{n-1} – 2(-1)^n = 2^{n+1} – 2(-1)^n$
    $-3r_n = -2\times 2^{n-1} + (-1)^n = -2^n + (-1)^n$
    Donc $$A^n = \begin{pmatrix} -2^n + 2(-1)^n & 2^{n+1} – 2(-1)^n \\ -2^n + (-1)^n & 2^{n+1} – (-1)^n \end{pmatrix}$$
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