Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On donne les matrices $M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 &- 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}$ et $I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}$.
Partie A

1. Déterminer la matrice $M^2$. On donne $M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}$.
2. Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$.
3. En déduire que $M$ est inversible et que $M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 - M - 8I\right)$.

Partie B Étude d'un cas particulier
On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A(1;1), B$( -1;-1)$ et C(2;5).

1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que \[M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.\]
2. Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.

Partie C Retour au cas général
Les nombres $a$, $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ sont des entiers. Dans un repère $\left(\text{O},\vec{i},\vec{j}\right)$, on considère les points A$(1;p)$, B$( - 1;q)$ et C$(2;r)$. On cherche des valeurs de $p$, $q$ et $r$ pour qu'il existe une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passant par A, B et C.

1. Démontrer que si $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$. avec $a$, $b$ et $c$ entiers. alors \[\left\{\begin{array}{l c l}- 3p + q + 2r&\equiv &0\:[6]\\ 3p-3q &\equiv &0 \:[6]\\ 6p + 2q-2r &\equiv & 0\: [6] \end{array}\right.\]
2. En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l} q- r &\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0 \:[2]\end{array}\right.$.
3. Réciproquement, on admet que si $\left\{\begin{array}{l c l}q- r&\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0\: [2] \\ \text{A, B, C }& \text{ne sont}&\text{ pas alignés } \end{array}\right.$alors il existe trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.
   1. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si $2r + q - 3p = 0$.
   2. On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q$, $r$, $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.