Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015

 

 

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que $\left(\text{O}; \vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}, \vec{\text{OD}}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0  ; 0 ; 3) dans ce repère.

Partie A

1. Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie) .
2. Soit V le point d'intersection du plan (EAU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en  annexe 1, (à rendre avec la copie).
3. Soit K le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{6}; - \dfrac{1}{6};0\right)$. Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE.

Partie B

Dans cette partie, on admet que l'aire du quadrilatère AUVE est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$.

1. On admet que le point U a pour coordonnées $\left(0;\dfrac{2}{3}; 1\right)$. Vérifier que le plan (EAU) a pour équation $3x - 3y + 5z - 3 = 0$.
2. Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EAU) passant par le point S.
3. Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite $(d)$ et du plan (EAU).
4. Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?

Annexe

Correction de l'exercice 1 (5 points)

Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que $\left(\text{O}; \vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}, \vec{\text{OD}}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0  ; 0 ; 3) dans ce repère.

Partie A

1. Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en annexe 1, (à rendre avec la copie) .
Les droites $(OB)$ et $(DU)$ doivent être parallèles.
En effet ; le plan $(OBS)$ rencontre les plans parallèles $xOy : x=0$ et $\pi : z=1$ suivant deux droites parallèles.
2. Soit V le point d'intersection du plan (EAU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en  annexe 1, (à rendre avec la copie).

On utilise le théorème du toit :
Les plans $(EAU)$ et $BCU)$ sont sécants suivant la droite $(UV)$.
Les deux droites $(AE)$  du plan $(EAU)$ et $(BC)$ de $(BCU)$  sont parallèles. Alors $(EAU)\cap (BCU)$ est une droite parallèle à $(AE)$ et $(BC)$ .
Donc les droites (UV) et (BC) sont parallèles.
Le point $U$ est donc l’intersection de la droite parallèle à $(AE)$ passant par $U$ et de la droite $(SC)$

1. Soit K le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{6}; - \dfrac{1}{6};0\right)$. Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE.
   1. Méthode 1 :
      Dans le triangle $SOB$ :
      – les droites $(DU)$ et $(OB)$ sont parallèles
      – $D \in [OS]$ et $U\in [DB]$
      D’après le théorème de Thalès on a $\dfrac{SD}{SO} = \dfrac{SU}{SB} = \dfrac{DU}{OB}$
      Donc $\dfrac{DU}{1} = \dfrac{2}{3}$ car $SD = 2$ et $SO = 3$
      Ainsi les coordonnées de $U$ sont $\left(0;\dfrac{2}{3};1\right)$.
      Par conséquent $\vec{HU}\left(-\dfrac{5}{6};\dfrac{5}{6};1\right)$.
      Mais $A(1;0;0)$ et $E(0;-1;0)$ donc $\vec{AE}(-1;-1;0)$.
      Par conséquent $\vec{AE}.\vec{KU} = \dfrac{5}{6} – \dfrac{5}{6} = 0$.
      Ainsi les deux vecteurs sont bien orthogonaux.
      $\quad$
      Montrons maintenant que $K\in[AE]$.
      $\vec{AK}\left(-\dfrac{1}{6};-\dfrac{1}{6};0\right)$.
      Donc $\vec{AK} = \dfrac{1}{6} \vec{AE}$. Les points $A$, $K$ et $E$ sont bien alignés.
      $\quad$
      $K$ est donc bien le pied de la hauteur issue de $U$ dans le trapèze $AUVE$.
      $\quad$
   2. Méthode 2 : analytique
      Dans le repère orthonormé $\left(\text{O}; \vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}, \vec{\text{OD}}\right)$ on a : $A (1 ; 0 ; 0) E (0 ; -1 ; 0) S (0 ; 0 ; 3) B (0 ; 1 ; 0)$
      $\vec{AE } \begin{pmatrix} -1 \\ -1\\0 \end{pmatrix}$ et $\vec{BS }\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\3 \end{pmatrix}$
      • Déterminons les équations des droites $(AE)$ et $(SB)$. La droite $(AE)$ passant par le point $A$ et de vecteur directeur $\vec{AE}$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que le vecteur $\vec{AM}$ soit colinéaire à $\vec{AE}$ .
      On a alors : $$\begin{array}{rl} M\begin{pmatrix} x \\ y\\z \end{pmatrix}\in (AE) &\iff \vec{AM} =t \vec{AE}\: ; t\in \mathbb R \\ & \iff \begin{pmatrix} x -1 \\ y-0\\z-0 \end{pmatrix}= t\begin{pmatrix} -1 \\-1\\0 \end{pmatrix}\: ; t\in \mathbb R\\ & \iff \begin{cases}x=1-t\\\\y=-t\\\\z=0\end{cases};  t\in \mathbb R\end{array}$$ Une représentation paramétrique de la droite $(AE)$ est donc : $(AE)$ : $\begin{cases}x=1-t\\\\y=-t\\\\z=0\end{cases} ; t\in \mathbb R$
      On vérifie alors que , le point $K$ appartient à la droite $(AE)$ obtenu pour $t = \dfrac{1}{6}$.
      La droite $(SB)$ passant par le point $B$ et de vecteur directeur $\vec{BS}$ est l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que le vecteur $\vec{BM}$ soit colinéaire à $\vec{BS}$ .
      On a alors : $$\begin{array}{rl} M\begin{pmatrix} x \\ y\\z \end{pmatrix}\in (BS) &\iff \vec{BM} =k \vec{BS} ; k\in \mathbb R \\ & \iff \begin{pmatrix} x -0 \\ y-1\\z-0 \end{pmatrix}= k\begin{pmatrix} 0 \\-1\\3 \end{pmatrix} ; k\in \mathbb R\\ & \iff \begin{cases}x=0\\\\y=1-k\\\\z=3k\end{cases} ; k\in \mathbb R \end{array}$$ Une représentation paramétrique de la droite $(BS)$ est donc : $(BS)$ : $\begin{cases}x=0\\\\y=1-k\\\\z=3k\end{cases} ; k\in \mathbb R $
      • Déterminons les coordonnés du point $U$. Le point $U$ est le point de la droite $(SB)$ de cote 1 donc avec l’équation de $(SB) $ : $z = 1 \iff k = \dfrac{1}{ 3}$ On obtient donc : $U ( 0 ; \dfrac{2}{ 3} ; 1)$
      • Il reste alors à vérifier que le triangle $AKU$ est rectangle en K ce qui est aisé avec le produit scalaire par exemple.
      Dans le repère orthonormé $\left(\text{O}; \vec{\text{OA}}, \vec{\text{OB}}, \vec{\text{OD}}\right)$ on a : $A (1 ; 0 ; 0) K (\dfrac{5}{ 6} ;-\dfrac{1}{ 6} ; 0)U ( 0 ; \dfrac{2}{ 3} ; 1)$ $\vec{AK }\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{ 6} \\ -\dfrac{1}{ 6}\\0 \end{pmatrix}$ et $\vec{KU }\begin{pmatrix} -\dfrac{5}{ 6} \\ \dfrac{5}{ 6}\\1 \end{pmatrix}$ $\vec{AK }\cdot \vec{ KU }= -\dfrac{1}{ 6}\times \left(-\dfrac{5}{ 6} \right)+ \left(-\dfrac{1}{ 6}\times \dfrac{5}{ 6}\right)+0= \dfrac{5}{ 36}-\dfrac{5}{ 36}=0$
      Ainsi les vecteurs $\vec{AK }$ et $ \vec{ KU }$ sont orthogonaux.
      Conclusion : on a montré que le point $K$ appartenait bien à la droite $(AE)$ et que les droites $(KU)$ et $(AK)$ étaient perpendiculaires. Le point $K$ est donc le pied de la hauteur issue de $U$ dans le trapèze$ AUVE$.


Partie B


Dans cette partie, on admet que l'aire du quadrilatère AUVE est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$.

1. On admet que le point U a pour coordonnées $\left(0;\dfrac{2}{3}; 1\right)$. Vérifier que le plan (EAU) a pour équation $3x - 3y + 5z - 3 = 0$.
Regardons si les coordonnées de $A(1;0;0)$, $E(0;-1;0)$ et $U\left(0;\dfrac{2}{3};1\right)$ vérifient l’équation fournie. Ces trois points ne sont pas alignés car les droites $(AE)$ et $(SB)$ ne sont pas parallèles.
$A$: $3 + 0 + 0 – 3 = 0$
$E$ : $0+3+0-3 = 0$
$U$ : $0 – 2 + 5 – 3 = 0$.
Une équation du plan $(EAU)$ est donc bien $$3x-3y+5z-3=0$$
2. Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EAU) passant par le point S.
Un vecteur normal à ce plan est $\vec{n}(3;-3;5)$.
Par conséquent une représentation paramétrique de $(d)$ est $$\begin{cases}x=3t\\\\y=-3t\\\\z=3+5t\end{cases}$$
3. Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite $(d)$ et du plan (EAU).
Les coordonnées de $H$ vérifient à la fois l’équation du plan $(EAU)$ et celles de $(d)$.
Donc $9t+9t+15+25t-3 = 0 \iff 43t=-12 \iff t=-\dfrac{12}{43}$.
On reporte ensuite cette valeur dans les équations de $(d)$ et on trouve ainsi les coordonnées de $H$ : $$\begin{cases} x_H = -\dfrac{36}{43} \\\\y_H = \dfrac{36}{43} \\\\z_H = \dfrac{69}{43} \end{cases}$$
4. Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?
le volume de $SEAUV$ est : $$\mathscr{V1} = \dfrac{1}{3}\times \text{Aire de la base}\times \text{Hauteur}=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}h = \dfrac{1}{3}\mathscr{B}\times SH$$ Calculons dans un premier temps les coordonnées de $\vec{SH}\left(-\dfrac{36}{43};\dfrac{36}{43};-\dfrac{60}{43}\right)$.
Ainsi $SH = \dfrac{12}{\sqrt{43}}$.
Par conséquent le volume de $SEAUV$ est : $\mathscr{V}_1 = \dfrac{\dfrac{5\sqrt{43}}{18} \times \dfrac{12}{\sqrt{43}}}{3} = \dfrac{10}{9}$.$\quad$
On a, grâce au théorème de Pythagore dans le triangle $AOB$ rectangle en $O$ $AB = \sqrt{2}$.
Donc le volume de $SABCE$ est $\mathscr{V}_2 = \dfrac{2 \times 3}{3} = 2$.
Or $\mathscr{V_1} \neq \dfrac{1}{2}\mathscr{V}_2$.
Le plan $(EAU)$ ne partage donc pas la pyramide $SABCE$ en deux solides de même volume.
Une figure dynamique avec Geogebra :

 




Exercice 2 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs coordonnées $\left(x_n;y_n\right)$ de la façon suivante: \[\left\{\begin{array}{l c l} x_0 &=&- 3\\ y_0 &=&\phantom{-}4 \end{array}\right. \quad \text{et pour tout entier naturel }\:n : \left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}&=&0,8x_n - 0,6y_n\\ y_{n+1}&=&0,6x_n + 0,8y_n \end{array}\right.\]

1. 1. Déterminer les coordonnées des points $A_0,\: A_1$ et $A_2$.
   2. Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Variables :}& \\ &i, x, y, t : nombres réels\\ \text{Initialisation :}&\\ &x \text{ prend la valeur } - 3\\ & y \text{ prend la valeur } 4 \\ \text{ Traitement : }&\\ & \text{ Pour } i \text{ allant de } 0 \text{ à }20\\ &\hspace{1cm}\text{ Construire le point de coordonnées } (x;y)\\ & \hspace{1cm}t \text{ prend la valeur } x\\ &\hspace{1cm}x \text{ prend la valeur } \ldots . \\ &\hspace{1cm}y \text{ prend la valeur } \ldots. \\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$ Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points $A_0$ à $A_{20}$.
   3. À l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant:
      
      Identifier les points $A_0, A_1$ et $A_2$.. On les nommera sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie) . Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ?
2. Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n,\: z_n = x_n + \text{i}y_n$ l'affixe du point $A_n$.
   1. Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,  $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
   2. On admet qu'il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\text{e}^{\text{i}\theta }z_n = z_{n+ 1}$.
   3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $z_n = \text{e}^{\text{i}n\theta }z_0$.
   4. Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$.
   5. Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$. Représenter $\theta$ sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie). Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$.
   
   

   Correction de l'exercice 2 (5 points)

   
   Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

   Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

   
   On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs coordonnées $\left(x_n;y_n\right)$ de la façon suivante: \[\left\{\begin{array}{l c l} x_0 &=&- 3\\ y_0 &=&\phantom{-}4 \end{array}\right. \quad \text{et pour tout entier naturel }\:n : \left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}&=&0,8x_n - 0,6y_n\\ y_{n+1}&=&0,6x_n + 0,8y_n \end{array}\right.\]

   1. 1. Déterminer les coordonnées des points $A_0,\: A_1$ et $A_2$.
      $A_0(-3;4)$, $A_1(-4,8;1,4)$ et $A_2(-4,68;-1,76)$
      
      2. Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Variables :}& \\ &i, x, y, t : nombres réels\\ \text{Initialisation :}&\\ &x \text{ prend la valeur } - 3\\ & y \text{ prend la valeur } 4 \\ \text{ Traitement : }&\\ & \text{ Pour } i \text{ allant de } 0 \text{ à }20\\ &\hspace{1cm}\text{ Construire le point de coordonnées } (x;y)\\ & \hspace{1cm}t \text{ prend la valeur } x\\ &\hspace{1cm}x \text{ prend la valeur } \ldots . \\ &\hspace{1cm}y \text{ prend la valeur } \ldots. \\ &\text{ Fin Pour }\\ \hline \end{array}$$ Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points $A_0$ à $A_{20}$.
      Variables :
      $\quad$ $i,x,y,t$ : nombres réels
      Initialisation :
      $\quad$ $x$ prend la valeur $-3$
      $y$ prend la valeur $4$
      Traitement :
      $\quad$ Pour $i$ allant de $0$ à $20$
      $\qquad$ Construire le point de coordonnées $(x;y)$
      $\qquad$ $t$ prend la valeur $x$
      $\qquad$ $x$ prend la valeur $0,8x-0,6y$
      $\qquad$ $y$ prend la valeur $0,6t+0,8y$
      $\quad$ Fin Pour
      $\quad$
      
      3. À l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant:
         
         Identifier les points $A_0, A_1$ et $A_2$. On les nommera sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie) . Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ?
      
      Les points $A_n$ semblent être sur le cercle de centre $O$ et de rayon $5$.
      
   2. Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n,\: z_n = x_n + \text{i}y_n$ l'affixe du point $A_n$.
      1. Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,  $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ?
      Raisonnons par récurrence.
      Initialisation :
      $u_0 = |-3 + 4\text{i}c| = \sqrt{9 + 16} = 5$.
      La propriété est donc vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité :
      Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n = 5$.
      Alors :
      $$\begin{array} {rl}u_{n+1} &= \left|z_{n+1}\right| \\ & = \sqrt{(0,8x_n-0,6y_n)^2+(0,6x_n+0,8y_n)^2} \\ & = \sqrt{0,64x_n^2 + 0,36y_n^2-0,96x_ny_n + 0,36x_n^2+0,64y_n^2+0,96x_ny_n } \\ & = \sqrt{x^n_2 + y_n^2} \\ & = \left|z_n\right| \\ & = 5
      \end{array}$$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$
      $\quad$
      Conclusion :
      La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 5$.
      $\quad$
      
      2. On admet qu'il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\text{e}^{\text{i}\theta }z_n = z_{n+ 1}$.
      $$\begin{array}{rl} \text{e}^{\text{i}\theta}z_n & = (\cos \theta + \text{i} \sin \theta)(x_n + \text{i} y_n) \\ &=(0,8 + 0,6\text{i})(x_n + \text{i} y_n) \\ &=0,8x_n + 0,8y_n \text{i} + 0,6x_n\text{i} – 0,6y_n \\ &= 0,8x_n – 0,6y_n + (0,6x_n + 0,8y_n)\text{i}\\ &= z_{n+1} \end{array}$$
      
      3. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $z_n = \text{e}^{\text{i}n\theta }z_0$.
      Raisonnons ici encore par récurrence.
      Initialisation :
      $z_0 = 1 \times z_0 = \text{e}^{\text{i} \times 0 \theta}z_0$
      La propriété est donc vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité :
      Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $z_n = \text{e}^{\text{i} n \theta} z_0$
      Alors :
      $$\begin{array}{rl} z_{n+1} & = \text{e}^{\text{i} \theta}z_n \\ &= \text{e}^{\text{i} \theta} \times \text{e}^{\text{i} n \theta} z_0 \\ & = \text{e}^{\text{i} (n+1) \theta} z_0 \end{array}$$
      La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion :
      La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a : $z_n=\text{e}^{\text{i} n \theta} z_0$.
      $\quad$
      
      4. Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$.
      $$\begin{array} {rl}z_0 &= -3 + 4\text{i} \\ &= 5\left(-\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}\text{i}\right) \\ &= 5 (-0,6 + 0,8\text{i}) \end{array}$$
      Or $\cos \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta = -0,6 $
      et $\sin \left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos \theta = 0,8$.
      Donc un argument de $z_0$ est bien $\theta + \dfrac{\pi}{2}$
      $\quad$
      
      5. Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$. Représenter $\theta$ sur la figure jointe en annexe 2, (à rendre avec la copie). Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$.
      Puisque $z_n=\text{e}^{\text{i} n \theta} z_0$, cela signifie donc qu’un argument de $z_n$ est :
      $$n\theta + \text{arg} (z_0) = n\theta + \theta +\dfrac{\pi}{2} = (n+1)\theta + \dfrac{\pi}{2}$$
      $\theta$ est donc l’angle du secteur angulaire créé à partir de deux points consécutifs et de l’origine du repère.
      Pour construire le point $A_{n+1}$ est l’image par la rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$ du point $A_n$ : on trace donc, dans le sens trigonométrique, la demi droite $[Ox)$ telle que l’angle entre cette droite et $\left[OA_n\right]$ soit égal à $\theta$. Le point d’intersection de cette demi-droite et du cercle est le point $A_{n+1}$.
      $\quad$
      

      Exercice 3 5 points

      
      Probabilités

      
      Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.
      Partie A Contrôle avant la mise sur le marché
      Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$.
      
      1. Calculer la probabilité de l'évènement $M$ : « la tablette est mise sur le marché ».
      2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet évènement atteigne 0,97. Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l'évènement « la tablette est mise sur le marché» soit égale à $0,97$.
      
      Partie B Contrôle à la réception
      Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7%. On dit alors que la fève est conforme. L'entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30% et le dernier apporte 20 % du stock. Pour le premier, 98% de sa production respecte le taux d'humidité; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20% de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_1$ l'évènement « la fève provient du fournisseur $i$ », pour $i$ prenant les valeurs 1,2 ou 3, et $C$ l'évènement « la fève est conforme ».
      
      1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$.
      2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92% de fèves qu'elle achète soient conformes. Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?

       

      
      

      Correction de l'exercice 3 (5 points)

      
      Commun à tous les candidats

      
      Probabilités

      
      Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle.
      Partie A Contrôle avant la mise sur le marché
      Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$.
      
      1. Calculer la probabilité de l'évènement $M$ : « la tablette est mise sur le marché ».
      On doit donc calculer $P(98 \le X \le 102) \approx 0,954$.
      On peut remarquer que : $P(98 \le X \le 102)= P(\mu-2\sigma\leq X\leq \mu +2\sigma) \approx 0,954$

      2ND DISTR 2NORMALFRép( \1 , \2,\3,\4)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,\2,\3,\4) \approx \5$$

      $$P(\1 \leq \6 \leq \2)\approx \5 \text{ à } 10^{-\7} \text{ près.}$$

       

      2. On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet évènement atteigne 0,97. Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l'évènement « la tablette est mise sur le marché» soit égale à $0,97$.
      On veut que :
      $$\begin{array}{rl} P(98 \le X \le 102) = 0,97 & \iff P(-2 \le X -100 \le 2) = 0,97 \\ & \iff P\left(-\dfrac{2}{\sigma} \le \dfrac{X -100}{\sigma} \le \dfrac{2}{\sigma}\right) = 0,97 \end{array}$$
      Or la variable aléatoire $Z = \dfrac{X -100}{\sigma}$ suit la loi normale centrée réduite.
      Par conséquent :
      $$\begin{array}{rl} P(98 \le X \le 102) = 0,97 & \iff 2P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) – 1 = 0,97 \\ &\iff 2P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) = 1,97 \\ &\iff P\left(Z \le \dfrac{2}{\sigma} \right) = 0,985 \\ & \iff \pi\left(\dfrac{2}{\sigma}\right) = 0,985 \\ & \iff \dfrac{2}{\sigma} \approx \pi^{-1} (0,985 )\\ & \iff \dfrac{2}{\sigma}\approx 2,170 \\ & \iff \sigma \approx 0,922 \end{array}$$ On a utilisé :

      2ND DISTR 3Fracnormale( $\1 $ )EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$Fracnormale( \1 ) \approx \2$$

      $$\pi^{-1}( \1)\approx \2 \text{ à } 10^{-\3} \text{ près.}$$
      
      Partie B Contrôle à la réception
      Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7%. On dit alors que la fève est conforme. L'entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30% et le dernier apporte 20 % du stock. Pour le premier, 98% de sa production respecte le taux d'humidité; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20% de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_1$ l'évènement « la fève provient du fournisseur $i$ », pour $i$ prenant les valeurs 1,2 ou 3, et $C$ l'évènement « la fève est conforme ».
      
      1. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$.
      Un arbre pondéré représentant la situation :
      
      Déterminons tout d’abord $P(C)$.
      D’après la propriété des probabilités totales on a :
      $$\begin{array}{rl}P(C) &= P(F_1\cap C) + P(F_2\cap C) + P(F_3\cap C) \\ &=0,5 \times 0,98 + 0,3 \times 0,9 + 0,2 \times 0,8 \\ & = 0,92
      \end{array}$$
      La probabilité cherchée est :
      $P_C(F_1) $ $ = \dfrac{P(F_1 \cap C)}{P(C)}$ $ = \dfrac{0,5 \times 0,98}{0,92}$ $\approx 0,53$.
      
      2. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92% de fèves qu'elle achète soient conformes. Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
      Un arbre ?
      D’après la propriété des probabilités totales on a :
      $$\begin{array}{rl} P(C) &= P(F_1\cap C) + P(F_2\cap C) \\ & = 0,98p + 0,9(1-p) \\ & = 0,08p + 0,9\end{array}$$
      On veut donc :
      $$\begin{array}{rl} 0,08p+0,9 = 0,92 & \iff 0,08p = 0,02 \\ &\iff p = \dfrac{0,02}{0,02} \\ & \iff p =0,25 \end{array}$$

       

      
      

      Exercice 4 6 points

      
      Commun à tous les candidats

      
      Partie A
      Soit $u$ la fonction définie sur $]0;+ \infty[$ par \[u(x) = \ln(x) + x - 3.\]
      1. Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.
      2. Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3.
      3. En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$.
      
      Partie B
      Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par \[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) - 2] + 2.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
      
      1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
      2. 1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+ \infty[$, $f’(x) = \dfrac{u(x)}{x^2} $ où $u$ est la fonction définie dans la partie A.
         2. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.
      
      Partie C
      Soit $\mathcal{C}’$ la courbe d'équation $y = \ln (x)$.
      
      1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+ \infty[$, $f(x) - \ln(x) = \dfrac{2 - \ln (x)}{x}$. En déduire que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}’$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
      2. On admet que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par \[H(x) = \dfrac{1}{2} [\ln (x)]^2\] est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$. Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}^2}\dfrac{2 - \ln x}{x}\:\text{d}x$. Interpréter graphiquement ce résultat.

       

      
      

      Correction de l'exercice 4 6 points

      
      COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

      Exercice 4 6 points

      
      Commun à tous les candidats

      
      Partie A
      Soit $u$ la fonction définie sur $]0;+ \infty[$ par \[u(x) = \ln(x) + x - 3.\]
      1. Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.
      La fonction $u$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
      Pour tout $x \ge 0$, on a : $u'(x) = \dfrac{1}{x} + 1 > 0$.
      Par conséquent la fonction $u$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
      
      2. Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3.
      D'après le théorème de la bijection :

      • $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right[$.
      • $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right[$.
      • $\lim\limits_{x \to \2}~\1(x)=\4$ et $\lim\limits_{x \to \3}~\1(x)=\5$

      $\1$ réalise donc une bijection de $\left]\2 ; \3\right[$ sur $\left]\4;\5\right[$
      $\6\in \left]\4;\5\right[$,
      donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left]\2 ; \3\right[$ .

      De plus $u(2) =\ln 2 – 1 < 0$ et $u(3) = \ln 3>0$
      Donc $2 < \alpha < 3$.
      
      3. En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$.
      Par conséquent, puisque la fonction $u$ est strictement croissante :
      Sur $]0;\alpha[$, $u(x) <0$.
      $u(\alpha) = 0$
      Sur $]\alpha; +\infty[$, $u(x) > 0$.
      $\quad$ On peut également utiliser le tableau de variation de $u$
      
      Partie B
      Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par \[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) - 2] + 2.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
      
      1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
      $\lim\limits_{x \to 0^+} -\dfrac{1}{x} = -\infty$.
      Donc $\lim\limits_{x \to 0^+} 1 – \dfrac{1}{x} = -\infty$
      De plus $\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x – 2 = -\infty$
      Par conséquent, $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.
      
      2. 1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+ \infty[$, $f’(x) = \dfrac{u(x)}{x^2} $ où $u$ est la fonction définie dans la partie A.
         La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
         $\begin{align*} f'(x) &= \dfrac{1}{x^2}(\ln(x) – 2) + \left(1 – \dfrac{1}{x}\right)\times \dfrac{1}{x} \\ &= \dfrac{\ln(x) – 2 + x – 1}{x^2} \\ & = \dfrac{\ln(x) + x -3}{x^2} \\ & = \dfrac{u(x)}{x^2} \end{align*}$
         $\quad$
         
         2. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0;+ \infty[$.
          Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[ $  $x^2 > 0$ sur $]0;+\infty[$.
         Par conséquent $f'(x)$ a le signe de $u(x)$ étudié à la partie A:
         
      
      Partie C
      Soit $\mathcal{C}’$ la courbe d'équation $y = \ln (x)$.
      
      1. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0;+ \infty[$, $f(x) - \ln(x) = \dfrac{2 - \ln (x)}{x}$. En déduire que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}’$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées.
      $\begin{align*} f(x) – \ln(x) & = \left(1 – \dfrac{1}{x}\right)(\ln(x) – 2) + 2 – \ln(x) \\ &= \ln(x) – 2 – \dfrac{\ln(x) – 2}{x} + 2 – \ln(x) \\ & = \dfrac{2 – \ln(x)}{x} \end{align*}$
      $\quad$
      Par conséquent $f(x) = \ln(x) \iff 2 – \ln(x) = 0 \iff x = e^{2}$.
      $\ln\left( e^{2}\right) = 2$.
      Les deux courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C’}$ ont donc un seul point d’intersection de coordonnées $\left(e^{2};2\right)$.
      
      2. On admet que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par \[H(x) = \dfrac{1}{2} [\ln (x)]^2\] est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0;+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$. Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}^2}\dfrac{2 - \ln x}{x}\:\text{d}x$. Interpréter graphiquement ce résultat.
      $$\begin{array} {rl}I &= \displaystyle \int_1^{e^2} \dfrac{2-\ln(x)}{x} \mathrm{d}x \\ &= \displaystyle \int_1^{ e^2} \dfrac{2 }{x} \mathrm{d}x - \int_1^{ e^2} \dfrac{\ln(x) }{x} \mathrm{d}x\\ &= \left[2\ln x \right]_1^{e^2} -\left( H\left( e^2\right) - H(1)\right) \\ & = 2\ln\left(e^2\right)-2\ln 1-\left(\dfrac{1}{2} \left(2^2 - 0\right)\right) \\ & = 4-2 \\ &=2\end{array}$$ .
      Cela signifie donc que l’aire comprise entre les deux courbes $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C’}$ et les droites d’équation $x=1$ et $x= e^2$ est de $2$ u.a. .

       

      
      

      Spécialité 5 points

      
      Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

      
      On donne les matrices $M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 &- 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}$ et $I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}$.
      Partie A
      
      1. Déterminer la matrice $M^2$. On donne $M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}$.
      2. Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$.
      3. En déduire que $M$ est inversible et que $M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 - M - 8I\right)$.
      
      Partie B Étude d'un cas particulier
      On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A(1;1), B$( -1;-1)$ et C(2;5).
      
      1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que \[M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.\]
      2. Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.
      
      Partie C Retour au cas général
      Les nombres $a$, $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ sont des entiers. Dans un repère $\left(\text{O},\vec{i},\vec{j}\right)$, on considère les points A$(1;p)$, B$( - 1;q)$ et C$(2;r)$. On cherche des valeurs de $p$, $q$ et $r$ pour qu'il existe une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passant par A, B et C.
      
      1. Démontrer que si $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$. avec $a$, $b$ et $c$ entiers. alors \[\left\{\begin{array}{l c l}- 3p + q + 2r&\equiv &0\:[6]\\ 3p-3q &\equiv &0 \:[6]\\ 6p + 2q-2r &\equiv & 0\: [6] \end{array}\right.\]
      2. En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l} q- r &\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0 \:[2]\end{array}\right.$.
      3. Réciproquement, on admet que si $\left\{\begin{array}{l c l}q- r&\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0\: [2] \\ \text{A, B, C }& \text{ne sont}&\text{ pas alignés } \end{array}\right.$alors il existe trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.
         1. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si $2r + q - 3p = 0$.
         2. On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q$, $r$, $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.

       

      
      

      Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

      
      Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

      
      On donne les matrices $M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 &- 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}$ et $I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}$.
      Partie A
      
      1. Déterminer la matrice $M^2$. On donne $M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}$.
      On obtient :
      $$M^2 = \begin{pmatrix}
      6 &2 &3 \\
      4 & 4 & 1 \\
      10 & 4 & 7
      \end{pmatrix}$$
      
      2. Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$.
      $\quad$
      $\begin{array} M^2 + 8M + 6I &= \begin{pmatrix}
      6 &2 &3 \\
      4 & 4 & 1 \\
      10 & 4 & 7
      \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
      8 &8 &8 \\
      8 & -8 & 8 \\
      32 & 16 & 8
      \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
      6 &0 &0 \\
      0 & 6 & 0 \\
      0 & 0 & 6
      \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix}
      20 &10 &11 \\
      12 & 2 & 9 \\
      12 & 20 & 21
      \end{pmatrix} \\ & = M^3
      \end{array}$
      
      3. En déduire que $M$ est inversible et que $M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 - M - 8I\right)$.
      On a ainsi :
      $$\begin{array}{rl} M^3 = M^2 + 8M + 6I & \iff M^3 – M^2 – 8M = 6I \\ & \iff M\left(M^2 – M – 8I\right) = 6I \\ & \iff M \times \dfrac{1}{6} \left(M^2 – M – 8I\right) = I \end{array}$$
      Ainsi $M$ est inversible d’inverse $\dfrac{1}{6} \left(M^2 – M – 8I\right)$.
      
      Partie B Étude d'un cas particulier
      On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A(1;1), B$( -1;-1)$ et C(2;5).
      
      1. Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que \[M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.\]
      Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent à la parabole. Leurs coordonnées vérifient donc l’équation $y=ax^2+bx+c$.
      On obtient ainsi :
      $\begin{cases} a + b + c = 1 \\ a – b + c = -1 \\ 4a + 2b+ c = 5 \end{cases}$ $\iff \begin{pmatrix}
      1 &1 &1 \\
      1 & -1 & 1 \\
      4 & 2 & 1
      \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\-1\\5\end{pmatrix}$
      $\quad$
      2. Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers.
      On a ainsi $\begin{pmatrix} a \\b\\c\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\-1\\5\end{pmatrix}$.
      $\quad$
      Or $M^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$
      $\quad$
      Par conséquent $M^{-1}\begin{pmatrix} 1 \\-1\\5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\1 \\-1 \end{pmatrix}$
      $\quad$
      
      Partie C Retour au cas général
      Les nombres $a$, $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ sont des entiers. Dans un repère $\left(\text{O},\vec{i},\vec{j}\right)$, on considère les points A$(1;p)$, B$( - 1;q)$ et C$(2;r)$. On cherche des valeurs de $p$, $q$ et $r$ pour qu'il existe une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passant par A, B et C.
      
      1. Démontrer que si $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}= M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$. avec $a$, $b$ et $c$ entiers. alors \[\left\{\begin{array}{l c l}- 3p + q + 2r&\equiv &0\:[6]\\ 3p-3q &\equiv &0 \:[6]\\ 6p + 2q-2r &\equiv & 0\: [6] \end{array}\right.\]
      $\quad$
      $$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} p \\q\\r \end{pmatrix} & \iff \begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
      -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 1 & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\q\\r \end{pmatrix} \\ & \iff \begin{cases} -\dfrac{1}{2}p + \dfrac{1}{6}q + \dfrac{1}{3}r = a \\ \dfrac{1}{2}p – \dfrac{1}{2}q = b \\ a + \dfrac{1}{3}q – \dfrac{1}{3}r = c \end{cases} \\ & \iff \begin{cases} -3p + q + 2r = 6a \\ 3p – 3q = 6b \\ 6p + 2q – 2r = 6c
      \end{cases} \\ &\Rightarrow
      \begin{cases} -3p +q + 2r \equiv 0 ~[6] \\ 3p-3q \equiv 0 ~[6] \\ 6p + 2q – 2r \equiv 0 ~[6]
      \end{cases}
      \end{array}$$
      $\quad$
      2. En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l} q- r &\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0 \:[2]\end{array}\right.$.
      On considère l’équation $3p – 3q \equiv 0~[6]$ $\iff 3(p – q) \equiv 0 ~[6]$.
      Puisque $3(p-q)$ est un multiple de $6$, cela signifie donc que $p-q$ doit être un multiple de $2$ et par conséquent $p-q \equiv 0~[2]$.
      Si, à partir du système précédent, on effectue le calcul $2L_1 + L_3$ on obtient :
      $4q + 2r \equiv 0 ~[6]$ $\iff 2(2q+r) \equiv 0~[6]$
      Par conséquent $2q + r \equiv 0 ~[3]$ or $2 \equiv -1 ~[3]$.
      On a ainsi $-q+r \equiv 0~[3]$ soit $q-r \equiv 0~[3]$
      Donc
      $$\begin{cases} q-r \equiv 0~[3] \\ p-q \equiv 0~[2] \end{cases}$$
      
      3. Réciproquement, on admet que si $\left\{\begin{array}{l c l}q- r&\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0\: [2] \\ \text{A, B, C }& \text{ne sont}&\text{ pas alignés } \end{array}\right.$ alors il existe trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.
         1. Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si $2r + q - 3p = 0$.
         $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.
         Or $\vec{AB}(-2;q-p)$ et $\vec{AC}(1;r-p)$
         Mais ces deux vecteurs sont colinéaires si, et seulement si :
         $-2(r-p) = q-p$ $\iff -2r +2p = q-p$ $ \iff 2r+q-3p = 0 $
         
         2. On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q$, $r$, $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.
         Puisque $p=7$ et que $p – q \equiv 0~[2]$ cela signifie qu’il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $q = 7+2k$.
         Puisque $q – r \equiv 0 ~[3]$ alors il existe $k’ \in \mathbb Z$ tel que $r=q + 3k’ = 7 + 2k + 3k’$.
         Il ne faut pas que $2r + q – 3p = 0$
         $ \iff 14 + 4k + 6k’ + 7 + 2k – 21 = 0$
         $ \iff 6(k+k’) = 0$
         $\iff k’ = -k$.
         Prenons par exemple $k=1$ alors $k’ = 1$
         On obtient ainsi $q= 9$, $r = 12$
         En utilisant $\begin{pmatrix} a \\b\\c \end{pmatrix} = M^{-1} \begin{pmatrix} p \\q\\r \end{pmatrix} $ on trouve :
         $$a=2 \qquad b = -1 \qquad c =6$$