Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 - Correction Spécialité
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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points
Les nombres de la forme $2^n - 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne .
- On désigne par $a,\: b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que PGCD$(b~;~c) = 1$. Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :
si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$. deux nombres $b$ et $c$ sont premiers entre eux. - On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$. Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous. $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \left(2^{33} - 1 \right)\div 3 & 2863311530\\ \left(2^{33} - 1 \right)\div 4 & 2147483648\\ \left(2^{33} - 1 \right)\div 12 & 715827882,6\\\hline \end{array} $$
Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.- En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1.? $3$ et $4$ sont premiers entre eux et divise tous les deux $2^{33}-1$ d’après la calculatrice.
- Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$. $33 > 2$ donc $4$ divisise $2^{33}$.
- En remarquant que $2 \equiv - 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$. $2 \equiv -1 ~[3]$ donc $2^{33} \equiv -1~[3]$ d’où $2^{33} – 1 \equiv -2~[3]$.
- Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$. $S$ est la somme de termes d’une suite géométrique de raison $2^3$ :
- En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$. $S$ est nécessairement un nombre entier. Par conséquent $\dfrac{2^{33}-1}{7}$ aussi et $7$ divise $2^{33}-1$.
D’après le résultat précédent $3 \times 4 = 12$ devrait donc également diviser $2^{33}-1$.
Si $4$ divise $2^{33}-1$ alors $4$ divise $1$ ce qui est impossible.
Donc $4$ ne divise pas $2^{33}-1$.
Donc $3$ ne divise pas $2^{33}-1$.
$S = \dfrac{1 – \left(2^3\right)^{11}}{1 – 2^3} = \dfrac{2^{33}-1}{7}$.
- On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$. Est-il premier ? Justifier.
- On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division euclidienne de $N$ par $k$. $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Variables :}& n \text{ entier naturel supérieur ou égal à } 3\\ & k \text{entier naturel supérieur ou égal à 2}\\ \text{Initialisation :}& \text{Demander à l'utilisateur la valeur de } n .\\ & \text{ Affecter à } k \text{ la valeur 2.}\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que MOD}\left(2^n - 1,~k\right) \ne 0 \text{ et }k \leqslant \sqrt{2^n -1} \\ &\hspace{1cm} \text{Affecter à } k \text{ la valeur } k + 1 \\ & \text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{Afficher} k .\\ & \text{ Si } k > \sqrt{2^n -1} \\ &\hspace{1cm} \text{Afficher « CAS 1 »}\\ &\text{ Sinon }\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher « CAS 2 »}\\ & \text{ Fin de Si }\\ \hline \end{array}$$
- Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ? $2^7 – 1 = 127$ $\sqrt{127} \approx 11,3$.
- Si on saisit $n=33$ alors l’algorithme affiche $7$ et « CAS 2 » .
- Si on saisit $n=7$ alors l’algorithme affiche $12$ et «CAS 1» .
$\quad$ - Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ? Le « CAS 2 » signifie que le nombre de Mersenne n’est pas premier. Le nombre $k$ affiché est le plus petit diviseur de $2^n-1$ strictement supérieur à $1$.
- Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ? Le « CAS 1 » signifie que le nombre de Mersenne étudié est premier.
On teste si $127$ est divisible par les nombres premiers inférieurs ou égaux à $11$. Ce qui n’est pas le cas.
Donc $2^7-1$ est premier.
Il existe un entier naturel $b’$ tel que $a= b’b$ et un entier naturel $c’$ tel que $a = cc’$.
Donc $bb’ = cc’$.
Puisque $b$ et $c$ sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, $b$ divisant $cc’$ divise $c’$.
Ainsi il existe un entier naturel $q$ tel que $c’=bq$.
Donc $a=cbq$. et $bc$ divise $a$.
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