Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015 - Spécialité

Page 9 sur 10: Spécialité

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Les nombres de la forme $2^n - 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés nombres de Mersenne .

  1. On désigne par $a,\: b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que PGCD$(b~;~c) = 1$. Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :
    si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.
  2. On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$. Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous. $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \left(2^{33} - 1 \right)\div 3 & 2863311530\\ \left(2^{33} - 1 \right)\div 4 & 2147483648\\ \left(2^{33} - 1 \right)\div 12 & 715827882,6\\\hline \end{array} $$
    Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
    1. En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question  1.?
    2. Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
    3. En remarquant que $2 \equiv - 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$.
    4. Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$.
    5. En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$.
  3. On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$. Est-il premier ? Justifier.
  4. On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division euclidienne de $N$ par $k$. $$ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Variables :}& n \text{ entier naturel supérieur ou égal à } 3\\ & k \text{entier naturel supérieur ou égal à 2}\\ \text{Initialisation :}& \text{Demander à l'utilisateur la valeur de } n .\\ & \text{ Affecter à } k \text{ la valeur 2.}\\ \text{Traitement :}& \text{Tant que MOD}\left(2^n - 1,~k\right) \ne 0 \text{ et }k \leqslant \sqrt{2^n -1} \\ &\hspace{1cm} \text{Affecter à } k \text{ la valeur } k + 1 \\ & \text{ Fin de Tant que.}\\ \text{ Sortie : }& \text{Afficher} k .\\ & \text{ Si } k > \sqrt{2^n -1} \\ &\hspace{1cm} \text{Afficher « CAS 1 »}\\ &\text{ Sinon }\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher « CAS 2 »}\\ & \text{ Fin de Si }\\ \hline \end{array}$$
    1. Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?
    2. Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
    3. Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?

 

Correction Spécialité
Page
  • Vues: 20047

Rechercher