Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques


On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\] On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$
ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.

  1. Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
  2. La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x+2}$ est une fonction décroissante sur $[0;+\infty[$. Par conséquent la fonction $x \mapsto \dfrac{-4}{x+2}$ et la fonction $f$ sont croissantes sur cet intervalle.
    NB : on pouvait évidemment utiliser la dérivée également mais cela change un peu.
  3. Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
  4. $$\begin{array}{ll} f(x) = x & \Leftrightarrow 5 – \dfrac{4}{x+2} = x \\ & \Leftrightarrow 5(x +2) -4 = x(x+2) \\ & \Leftrightarrow 5x + 10 – 4 = x^2 + 2x \\ & \Leftrightarrow x^2 – 3x – 6 = 0 \end{array}$$
    On calcule le discriminant : $\Delta = 9 + 24 = 33 > 0$
    Cette équation possède deux solutions réelles $x_1 = \dfrac{3 – \sqrt{33}}{2} <0$ et $x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} > 0$.
    Par conséquent $\alpha = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2} \approx 4,37$
  5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
    Sur la figure de annexe 1 , en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $M_0, M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0,\: u_1$ et $u_2$.
    Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?

  6. Il semblerait que la suite $(u_n)$ soit croissante et converge vers environ $4,3$
    1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\] où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2.
    2. Initialisation : si $n=0$ alors $u_0 = 1$ et $u_1 = f(u_0) = \dfrac{11}{3}$ et $0 \le 1 \le \dfrac{11}{3} \le \alpha$
      La propriété est vraie au rang $0$.
      $\quad$
      Hérédité : Supposons la vraie au rang $n$ : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le \alpha$
      Puisque la fonction $f$ est croissante on a $f(0) \le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(\alpha)$ soit $3 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le \alpha$.
      On a donc bien $0 \le u_{n+1} \le u_{n+2} \le \alpha$.
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
      $\quad$
      Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
      Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $0 \le u_n \le u_{n+1} \le \alpha$
    3. Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
    4. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $\alpha$. On peut donc affirmer qu’elle converge.
  7. Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par \[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\]
    1. Calculer $S_0, \:S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près.
    2. $S_0 = u_0 = 1$
      $S_1 = u_0 + u_1 = 1 +\dfrac{11}{3} = \dfrac{14}{3} \approx 4,67$
      $S_2 = S_1 + u_2 = \dfrac{14}{3} + \dfrac{73}{17} = \dfrac{457}{51} \approx 8,96$
      $\quad$
    3. Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2} pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur.
    4. Entrée :
      $\quad$ $n$ un entier naturel
      Variables :
      $\quad$ $u $et $s$ sont des variables réelles
      $\quad$ $n$ et $i$ sont des variables entières
      Initialisation :
      $\quad$ $u$ prend la valeur $1$
      $\quad$ $s$ prend la valeur $u$
      $\quad$ $i$ prend la valeur $0$
      $\quad$ Demander la valeur de $n$
      Traitement :
      $\quad$ Tant que $i < n$
      $\qquad$ Affecter à $i$ la valeur $i+1$
      $\qquad$ Affecter à $u$ la valeur $5 – \dfrac{4}{u+2}$
      $\qquad$ Affecter à $s$ la valeur $s + u$
      $\quad$ Fin Tant que
      Sortie :
      $\quad$ Afficher $s$
      $\quad$
    5. Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$.
    6. La suite $(u_n)$ étant croissante on a $u_n \ge u_0$ pour tout $n \in \mathbb N$
      Par conséquent $S_n \ge (n+1)u_0$ soit $S_n \ge n+1$.
      Mais $\lim\limits_{n \to +\infty }n+1 = +\infty$.
      D’après le théorème de comparaison on a $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n = +\infty$.

 

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