Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\] On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On a tracé en annexe 1 dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$
ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.

1. Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
2. Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
3. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$  $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
   Sur la figure de annexe 1 , en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $M_0, M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0,\: u_1$ et $u_2$.
   Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
4. 1. Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$, \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\] où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2.
   2. Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
5. Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par \[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\]
   1. Calculer $S_0, \:S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près.
   2. Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2} pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur.
   3. Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$.

Annexe 1:



Annexe 2 de l'exercice 4 à rendre avec la copie réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignementde spécialité

$$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Entrée :}& n \text{ un entier naturel} \\ \text{Variables :} & u \text{ et } s \text{ sont des variables réelles}\\ & n \text{ et } i \text{ sont des variables entières}\\ \text{Initialisation :} & u \text{ prend la valeur } 1 \\ & s \text{ prend la valeur} u \\ & i \text{ prend la valeur } 0\\ &\text{ Demander la valeur de } n \\ \text{Traitement :}&\text{ Tant que }\ldots\\ &\text{ Affecter à }i \text{ la valeur }i + 1\\ &\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \ldots\\ & \text{ Affecter à }s \text{ la valeur } \ldots\\ &\text{ Fin Tant que } \\ \text{Sortie :} &\text{ Afficher } s.\\ \hline \end{array}$$