Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 - Correction Exercice 3

Page 6 sur 10: Correction Exercice 3

Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Géométrie dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ . On donne les points A$(1~;~0~;~- 1)$, B$(1~;~2~;~3)$, C$(-5~;~5~;~0)$ et D$(11~;~1~;~-2)$. Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Le point K est défini par $\vec{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vec{\text{BC}}$.

1. 1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.
   $I$ est le milieu de $[AB]$ donc $I(1;1;1)$.
   $J$ est le milieu de $[CD]$ donc $J(3;3;-1)$
   $$\begin{array}{ll} \vec{BK} = \dfrac{1}{3}\vec{BC} & \Leftrightarrow \begin{cases} x_k – 1 = \dfrac{1}{3}(-5 – 1) \\ y_k – 2 = \dfrac{1}{3}(5 – 2) \\z_k – 3 = \dfrac{1}{3}(0 – 3) \end{cases} \\
   & \Leftrightarrow \begin{cases} x_k – 1 = -2 \\y_k – 2= 1 \\z_k – 3 = -1 \end{cases} & \Leftrightarrow \begin{cases} x_k = -1 \\y_k = 3 \\z_k = 2 \end{cases}
   \end{array}$$
   Donc $K(-1;3;2)$.
   
   2. Démontrer que les points I, J et K définissent un plan.
   $\vec{IJ}(2;2;-2)$ et $\vec{IK}(-2;2;1)$. $\dfrac{2}{-2} \ne \dfrac{2}{2}$
   Ces deux vecteurs n’étant pas colinéaires,car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. les points $I$, $J$ et $K$ définissent bien un plan.
   
   3. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(3~;~1~;~4)$ est un vecteur normal au plan (IJK). En déduire une équation cartésienne de ce plan.
   $\vec{n}.\vec{IJ} = 3 \times 2 + 1 \times 2 + 4 \times (-2) = 0$
   $\vec{n}.\vec{Ik} = 3 \times (-2) + 1 \times 2 + 4 \times 1 = 0$
   Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. Il est donc normal au plan $(IJK)$.
   $\quad$
   Une équation du plan $(IJK)$ est donc de la forme $3x + y + 4z + d = 0$.
   Puisque $I$ appartient à ce plan, on a $3 + 1 + 4 + d = 0$ soit $d= -8$.
   Une équation du plan $(IJK)$ est donc :$$3x+y+4z-8=0$$
2. Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y + 4z - 8 = 0$.
   1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD).
   Un vecteur directeur de $(BD)$ est $\vec{BD}(10;-1;-5)$. La droite $(BD)$ passe par le point $B$, donc une représentation paramétrique de cette droite est : $$\begin{cases}x = 1 + 10t\\y = 2 – t \qquad t\in \mathbb R \\z=3 – 5t \end{cases}$$
   
   2. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (BD).
   $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
   $\vec{BD}.\vec{n} = 10 \times 3 – 1 \times 1 – 5 \times 4 = 9\ne 0$
   Par conséquent la droite $(BD)$ n’est pas parallèle au plan $\mathscr{P}$. Ils sont donc sécants.
   $\quad$
   Leur point d’intersection vérifie donc leurs équations. On obtient ainsi :
   $3(1 + 10t) + (2 – t) + 4(3 -5t) – 8 = 0 \Leftrightarrow 9t+9=0$ $\Leftrightarrow t = -1$.
   Par conséquent $\begin{cases} x_L = 1 – 10 = -9\\y_L = 2 + 1 = 3\\z_L = 3 + 5 = 8 \end{cases}$
   
   3. Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?
   Déterminons les coordonnées du milieu $E$ de $[LD]$ : $E(1;2;3) = B$.
   Le point $L$ est donc le symétrique du point $D$ par rapport au point $B$.
Une figure faite avec GeoGebra3D