Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Partie A

Le but de celle partie est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l'absurde.

1. On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés $p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}$. On considère le nombre $E$ produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 : \[E = p_{1} \times p~_{2} \times \cdots\times p_{n} + 1.\] Démontrer que $E$ est un entier supérieur ou égal â 2, et que $E$ est premier avec chacun des nombres $p_{1},\: p_{2}, \ldots,\: p_{n}$.
2. En utilisant le fait que $E$ admet un diviseur premier conclure.

Partie B

Pour tout entier naturel $k \geqslant 2$, on pose $M_{k} = 2^k -1$. On dit que $M_{k}$ est le $k$-ième nombre de Mersenne.

1. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de $M_{k}$ : $$ \begin{array}{ |c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline k&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline M_{k}&3&&&&&&&&\\ \hline \end{array} $$
   2. D'après le tableau précédent, si $k$ est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre $M_{k}$ est premier ?
2. Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls.
   1. Justifier l'égalité : $1 + 2^p + + \left(2^p\right)^2 + \left(2^p\right)^3 + \cdots \left(2^p\right)^{q - 1} = \dfrac{\left(2^p\right)^q - 1}{2^p - 1}$.
   2. En déduire que $2^{pq} - 1$ est divisible par $2^p - 1$.
   3. En déduire que si un entier $k$ supérieur ou égal à $2$ n'est pas premier, alors $M_{k}$ ne l'est pas non plus.
3. 1. Prouver que le nombre de Mersenne $M_{11}$ n'est pas premier.
   2. Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?

Partie C

Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce test utilise la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 4$ et pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = u_{n}^2 - 2.\] Si $n$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d'affirmer que le nombre $M_{n}$ est premier si et seulement si $u_{n-2} \equiv 0 \quad \text{modulo }\: M_{n}$. Cette propriété est admise dans la suite.

1. Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne $M_{ ~5}$ est premier.
2. Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 3. L'algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne $M_{n}$ est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer. $$\begin{array}{ |l|l|}\hline \text{Variables :}& u, M, n \text{ et } i \text{ sont des entiers naturels }\\ \text{Initialisation :}& u \text{ prend la valeur 4 }\\ \text{Traitement :}& \text{ Demander un entier } n \geqslant 3\\ & M \text{ prend la valeur } \ldots \ldots\\ & \text{ Pour } i \text{ allant de } 1 \text{ à } \ldots \text{faire} \\ &\quad u \text{ prend la valeur } \ldots\\ &\text{Fin Pour}\\ &\text{Si } M \text{ divise } u \text{ alors afficher «  } M \ldots \ldots \ldots \text{ » }\\ &\text{ sinon afficher «  } M \ldots \ldots \ldots \text{ » }\\ \hline \end{array}$$ Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu'il remplisse la condition voulue.