Baccalauréat S Antilles-Guyane 19 juin 2014 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (6 points)

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ par \[g(x) = 1 - x + \text{e}^x.\] Dresser, en le justifiant, le tableau donnant les variations de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ (les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition ne sont pas attendues). En déduire le signe de $g(x)$.
$g’(x) = -1 + \text{e}^x$
Etudions le signe de $g’(x)$
$$\begin{array}\\ g’(x) > 0 & \Leftrightarrow -1 + \text{e}^x > 0 \\ & \Leftrightarrow \text{e}^x > 1 \\ & \Leftrightarrow x > 0\\ \end{array}$$
2. Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ puis la limite de $f$ en $+ \infty$.
$\lim\limits_{n \rightarrow -\infty} x+1 = -\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{n \rightarrow -\infty} \dfrac{1}{\text{e}^x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow -\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}=-\infty$
Par conséquent :
$$\lim\limits_{n \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$$
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} x + 1 = +\infty$ $\quad$ $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$
Par conséquent :
$$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$$
3. On appelle $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que, pour tout réel $x$, \[f'(x) = \text{e}^{- x}g(x).\]
$$\begin{array}\\ f’(x) &= 1 + \dfrac{\text{e}^x – x\text{e}^x}{\text{e}^2x} \\ &= 1 + \dfrac{1 -x}{\text{e}^x} \\ &=\dfrac{\text{e}^x + 1 – x}{\text{e}^x} \\ &=\text{e}^{-x}g(x) \end{array}$$
4. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
D’après le tableau de variations de la fonction $g$ on constate que $g(x) > 0$ pour tout $x$. On sait de plus que la fonction exponentielle est strictement positive.
Par conséquent :
$$\forall x\in \mathbb{R}, f’(x) > 0$$

5. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution réelle $\alpha$ sur $\mathbb{R}$. Démontrer que $-1 < \alpha < 0$.
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
De plus $\lim\limits_{n \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$
$0 \in ]-\infty;+\infty[$.
D'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires), l'équation $f(x)=0$ possède donc une unique solution sur $\mathbb{R}$.
$~$
$f(-1) = -\text{e}^{-1} < 0$ et $f(0) = 1 > 0$ donc $-1 \alpha < 0$.

6. 1. Démontrer que la droite $T$ d'équation $y = 2x + 1$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
   Une équation de la tangente est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
   $f'(0) = 2$ et $f(0) = 1$. Donc la tangente en $0$ à $\mathscr{C}$ a pour équation $y =2x+1$
   
   2. Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $T$.
   Pour étudier la position relative de la courbe $\mathscr{C}$ et de $T$ on étudie le signe de :
   $$\begin{array}\\ f(x) - (2x+1) &= x+1 + \dfrac{x}{\text{e}^x} -2x - 1 \\ &= -x + \dfrac{x}{\text{e}^x} \\ &= x\dfrac{ -\text{e}^x + 1}{\text{e}^x} \\ &=\dfrac{-xg'(x)}{\text{e}^x} \le 0 \end{array}$$
   La droite $T$ est donc toujours au-dessus de la courbe $\mathscr{C}$.

Partie B

1. Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par \[H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] Démontrer que $H$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h$ définie par $h(x) = x\text{e}^{- x}$.
$H'(x) = -\text{e}^{-x} - (-x-1)\text{e}^{-x} $ $= x\text{e}^{-x} = h(x)$
Donc $H$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}$.

2. On note $\mathcal{D}$ le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $T$ et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$. Calculer, en unité d'aire, l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
L'aire cherchée est :
$$\begin{array}\\ \mathscr{A} &=\int_1^3(f(x) - (2x+1))\text{d}x \\ &=\int_1^3 (-x+h(x)) \text{d}x \\ &=\left[\dfrac{-x^2}{2} + H(x) \right]_1^3 \\ &= \dfrac{9}{2} – 4\text{e}^{-3} – \dfrac{1}{2} – (-2)\text{e}^{-1} \\ &= 4 - 4\text{e}^{-3} +2\text{e}^{-1} \text{ u.a} \end{array}$$