Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014 - Spécialité

Page 9 sur 10: Spécialité

Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la même période :

• il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du bassin A dans le bassin B ;
• la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.
• Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus $200$ poissons pour le bassin A et $100$ poissons pour le bassin B.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note respectivement $a_{n}$ et $b_{n}$ les effectifs de poissons des bassins A et B au bout de $n$ années.
En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est $a_{0} = 200$ et celui du bassin B est $b_{0} = 100$.

1. Justifier que $a_{1} = 400$ et $b_{1} = 300$ puis calculer $a^2$ et $b^2$.
2. On désigne par $A$ et $B$ les matrices telles que $A = \begin{pmatrix}0&2\\1&0\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}200\\100\end{pmatrix}$ et pour tout entier naturel $n$, on pose $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.
   1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1} = AX_{n} + B$.
   2. Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + B$.
   3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Y_{n} = \begin{pmatrix}a_{n} + 400\\ b_{n} + 300\end{pmatrix}$. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\:\: Y_{n+1} = AY_{n}$.
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Z_{n} = Y_{2n}$.
   1. Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: Z_{n+1} = A^2 Z_{n}$. En déduire que pour tout entier naturel $n, Z_{n+1} = 2Z_{n}$.
   2. On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel $n$, \[Y_{2n} = 2Z_{n}.\] En déduire que $Y_{2n + 1} = 2^nY_{1}$ puis démontrer que pour tout entier naturel $n$, \[a_{2n} = 600 \times 2^n - 400\quad \text{et}\quad a_{2n+1} = 800 \times 2^n - 400.\]
4. Le bassin A a une capacité limitée à  10 000  poissons.
   1. On donne l'algorithme suivant. $$\begin{array} {|l |l|}\hline \text{ Variables : } & a, p \text{ et } n \text{sont des entiers naturels.}\\ \text{Initialisation :}& \text{ Demander à l'utilisateur la valeur de } p.\\ \text{ Traitement : } &\text{ Si } p \text{ est pair }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p}{2}\\ \text{ Affecter à a la valeur } 600 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Sinon }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } \dfrac{p - 1}{2}\\ \text{ Affecter à } a \text{ la valeur } 800 \times 2^n - 400.\\ \end{array}\\ &\text{ Fin de Si. }\\ \text{ Sortie : } & \text{ Afficher } a.\\ \hline \end{array}$$ Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
   2. Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra utiliser le bassin A.