Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)


Commun à tous les candidats

On désigne par (E) l'équation \[z^4 + 4z^2 + 16 = 0\] d'inconnue complexe $z$.

  1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$.
    Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.

  2. On calcule $\Delta = 16-4\times 16 =-48$. Comme $\Delta< 0$, l'équation a deux racines complexes conjuguées : $$Z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} = \dfrac{-4+i\sqrt{48}}{2 } = \dfrac{-4+i4\sqrt{3}}{2 } = -2 + 2i\sqrt 3 \text { et } Z_2=\overline{Z_1}= -2 - 2i\sqrt 3 $$ $$ \mathcal{S} =\{ -2 + 2i\sqrt 3; -2 - 2i\sqrt 3 \}$$ Forme exponentielle des solutions: $$ Z_1 =-2 + 2i\sqrt 3= 4 \left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=4 \left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)$ $$ Z_1 =4e^{i\frac{2\pi}{3}} \text{ et } Z_2 =4e^{-i\frac{2\pi}{3}}$$
  3. On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$.
    Calculer $a^2$ sous forme algébrique. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.
    On écrira les solutions sous forme algébrique.
  4. $$a^2=\left(2e^{i\frac{ \pi}{3}} \right)^2=4 e^{i\frac{2\pi}{3}} =Z_1= -2 + 2i\sqrt 3 $$ $$z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3} \iff z^2 = a^2 \iff z^2 - a^2 =0 \iff (z- a)(z+a)=0\iff z=a \text{ ou } z=-a $$ les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$ sont $a=2e^{i\frac{ \pi}{3}}=2\left( \dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+ i \sqrt{3}$ et $-a=-1- i \sqrt{3}$
  5. Restitution organisée de connaissances
    On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \text{i}y$ où $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x - \text{i} y$. Démontrer que :
    • Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,  $\overline{ z_{1} \times z_{2} }=\overline{z_{1} } \times\overline{ z{2}} $.
    • $$\begin{array}{rl } \text{Posons } z_1 &= a+i b \\ z_2 &= c+i d \\ z_1 . z_2&=(a+ib).(c+id)\\ & =(ac-bd)+i(ad+bc)\\ \text{Ainsi } \overline{ z_1 . z_2}&=(ac-bd)-i(ad+bc)\\ \text{Par ailleurs } \overline{ z_1 }.\overline{ z_2}&=(a-ib).(c-id)\\ &= (ac-bd)-i(ad+bc)\\ \end{array} $$ $$\text{ On a donc bien } \overline{ z_{1} \times z_{2} }= \overline{z_{1} } \times \overline{ z{2}} $$
    • Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n,\: \overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
    • On note $\mathcal{P}(n)$ la propriété : $~\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
      • Initialisation :Au rang 1; on a $~\overline{z^{1}} = \overline{z }=\left(\overline{z}\right)^1$, ce qui prouve que $\mathcal{P}(1)$ est vrai.
      • Hérédité :Soit $p\geq 1$, on suppose que: $~\overline{z^{p}} = \left(\overline{z}\right)^p \;\text{ HR }$.
        On doit prouver que : $~\overline{z^{p+1}} = \left(\overline{z}\right)^{p+1} $
        $$\begin{array}{rl l } ~\overline{z^{p+1}}& =\overline{z^{p } \times z}& \\ & = \overline{z^{p }} \times \overline{z} & \text{D'après la propriété ci-dessus ! }\\ & = \overline{z}^p \times \overline{z} & \text{ D'après HR ! }\\ &= \left(\overline{z}\right)^{p+1} \\ \end{array} $$
      • Conclusion :La propriété est vraie au rang 1, pour $k\geq 1 $ ; $\mathcal{P}( k ) $ vraie entraîne $\mathcal{P}( k+1 ) $ vraie,le principe de récurrence s'applique et donc pour tout $n \geq 1$: $~\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$
  6. Démontrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E).
    En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.
  7. si $z$ est une solution de l'équation (E) alors : $$\begin{array}{ l l }z^4 + 4z^2 + 16 = 0& \\ \overline{z^4 + 4z^2 + 16} = 0& \\ \overline{z^4} + \overline{4z^2} + \overline{16} = 0& \text{ car }\overline{z+z'} =\overline{z} +\overline{z'} \\ \overline{z} ^4+ 4\overline{z} ^2+ 16 = 0& \text{ car }\overline{z^4} =\overline{z}^4 \ldots \\ \\ \end{array}$$ Ainsi si $z$ est une solution de l'équation (E) alors : alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E).
    Comme $a$ et $-a$ sont deux solutions de (E); on déduit que leurs conjugués $\overline{a}=1-i\sqrt 3 $ et $-\overline{a} =-1+i\sqrt 3 $ sont aussi soltions de (E). En conclusion (E) a pour ensemble de solutions : $$ \mathcal{S} =\{ 1 + i\sqrt 3; -1 - i\sqrt 3;1-i\sqrt 3;-1+i\sqrt 3 \}$$
Exercice 4
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