Baccalauréat S Métropole 19 juin 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Nombres complexes

On désigne par (E) l'équation \[z^4 + 4z^2 + 16 = 0\] d'inconnue complexe $z$.

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$.
   Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.
2. On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$.
   Calculer $a^2$ sous forme algébrique. En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2 = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$.
   On écrira les solutions sous forme algébrique.
3. Restitution organisée de connaissances
   On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z = x + \text{i}y$ où $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z = x - \text{i} y$. Démontrer que :
   • Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,  $\overline{ z_{1} \times z_{2}}=\overline{z_{1} } \times\overline{ z{2}} $.
   • Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n,\: \overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
4. Démontrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E).
   En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.