Baccalauréat S Polynésie 7 juin 2013 - Spécialité

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Exercice 4 : 5 points

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité mathématiques

Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution de nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013.
En 2013, les opérateurs A et B ont chacun $300$ milliers d'abonnés.

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur A la $n$-ième année après 2013, et $b_n$ le nombre d'abonnés, en milliers, de l'opérateur B la $n$-ième année après 2013.
Ainsi, $a_0 = 300$ et $b_0 = 300$.

Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante :
pour tout entier naturel $n$, $\begin{cases} a_{n+1} = 0,7a_n + 0,2b_n + 60 \\ b_{n+1} = 0,1a_n + 0,6b_n + 70 \end{cases}$.

On considère les matrices\index{matrice} $M = \begin{pmatrix} 0,7 & 0,2 \\ 0,1 & 0,6 \end{pmatrix}$ et $P = \begin{pmatrix} 60 \\ 70 \end{pmatrix}$.
Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$.

1. 1. Déterminer $U_1$.
   2. Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1} = M \times U_n +P$.
2. On note $I$ la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
   1. Calculer $(I - M)\times \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.
   2. En déduire que la matrice $I - M$ est inversible et préciser son inverse.
   3. Déterminer la matrice $U$ telle que $U = M \times U + P$.
3. Pour tout entier naturel, on pose $V_n = U_n - U$.
   1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = M \times V_n$.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $V_n = M^n \times V_0$.
4. On admet que, pour tout entier naturel $n$,
   \[V_n = \begin{pmatrix} \dfrac{-100}{3}\times 0,8^n - \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \\ \dfrac{-50}{3} \times 0,8^n + \dfrac{140}{3} \times 0,5^n \end{pmatrix}\]
   
   1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire la limite de la suite $(a_n)$.
   2. Estimer le nombre d'abonnés de l'opérateur A à long terme.