Oral Bac TSTI2D

Sujet Oral TSTI2D 01

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Fonction ln

Oral 1 STI2D

Une étude de fonction ln



Exercice

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 

A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0 +\infty[\) par : \(f(x) = x - \ln x\).
\(C\) est la courbe représentative de \(f\) dans un repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unités 2 cm.
Oral STI2D sujet 01

  1. Quelle limite de \(f\) en 0 le graphique laisse t'il prévoir ? Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?
  2. Montrer que \(f(x) = x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right )\). Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
  3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = \dfrac{x-1}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( \dfrac{1}{2}\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
Un Calcul d'aire

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^2}{2} + x - x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).
 

Sujet Oral TSTI2D 02

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Fonction exp

Oral 2 STI2D

Une fonction exponentielle
Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!

 




Exercice
 A. Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) , ainsi que les tracés de son asymptote \(D\) et d'une tangente \(T \)(unités : 2 cm sur \((Ox)\) et 1 cm sur \((Oy)\) ).
Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique

  1. Quelle est l'équation de la tangente \(T\) au point \(A\) d'abscisse 0 ?
  2. Quelle limite de \(f\) en \(+ \infty\) et \(- \infty\) le graphique laisse t'il prévoir ?
  3. Donner des encadrements par deux entiers consécutifs des solutions de l'équation \(f(x)=0\) .

B. La fonction \(f\) est définie sur par \(f(x) = 2e^x -3x- 4\).

  1. Quelle est la dérivée de \(f\) ?
  2. Etudier le signe de la fonction dérivée \(f'\) ?
  3. Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Démontrer que la droite \(D\) d'équation \(y=-3x-4\) est asymptote à la courbe \(C\) .

C. Calcul d'aire

  1. Calculer une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équation \( x = -1\) et \(x = -1\).
 

Sujet Oral TSTI2D 03

oui
oui
STI2D
Année 2014
QCM,Nombres complexes

ORAL 3 STI2D



Exercice

Question 1

Le nombre complexe \(z_{B} = -3\sqrt{3} - 3\text{i}\) a pour module et argument respectivement :

  1. 6 et \(\frac{5\pi}{6}\)
  2. 6 et \(\frac{\pi}{6}\)
  3. 6 et \(-\frac{\pi}{6}\)
  4. 6 et \(\frac{7\pi}{6}\)
Question 2

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\)
On appelle K le point du plan complexe d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O.
Par quelle rotation de centre O, le point K est-il l'image du point A ?

  1. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).
  2. la rotation de centre O et d'angle \(-\frac{\pi}{2}\).
  3. la rotation de centre O et d'angle \(\frac{\pi}{4}\).
Question 3

Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On donne \(z_{A} = - 3\sqrt{3} + 3\text{i}\) Le point K d'ordonnée négative tel que le triangle OAK soit rectangle et isocèle en O a pour affixe le nombre complexe :

  1. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  2. \(z_{\text{K}}=6 e^{-4\text{i}\frac{\pi}{3}}\)
  3. \(z_{\text{K}}=6 e^{4\text{i}\frac{\pi}{6}}\)
Question 4

On considère dans \(\mathbb{C}\) l'équation d'inconnue \(z^2 + 6z\sqrt{3}+36 = 0\).

  1. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3 \text{i} \) et \(-3\sqrt{3}-3 \text{i}\)
  2. Les solutions sont \(-3\sqrt{3}+3\) et \(-3\sqrt{3}-3\)
  3. L'équation n'a pas de solution.
 

Sujet Oral TSTI2D 04

oui
oui
STI2D
Année 2014
Probabilités,Fonction ln
Loi normale

ORAL 4 STI2D

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Fonction ln



Exercice
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0 ;+\infty [\) par \(g(x)=-2x^2-1+\ln x\) .

  1. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [\) . Étudier son signe sur \(]0 ;+\infty [\).
  2. Dresser le tableau de variations de \(g\) sur \(]0 ;+\infty [\) .
  3. En déduire que pour tout \(x\) de \(]0 ;+\infty [ , g(x) < 0\).
Probabilités LOI NORMALE



Exercice

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée. La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale d'espérance \(100\) et d'écart type \(0,43\).

fin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités. Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance 100 et d'écart type 0,43.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a& p\left( X \leqslant a \right) & &a&p\left( X \leqslant a \right)& &a&p\left( X \leqslant a \right)\\ \hline 98 &0,00000165 &&99,5 &0,12245722 &&101 &0,98997955 \\ \hline 98,5 &0,00024299 &&100 &0,50000000 &&101,5 &0,99975701 \\ \hline 99 &0,01002045 &&100,5 &0,87754278 &&102 &0,99999835 \\ \hline \end{array}\]

Les résultats seront donnés à \(10^{- 2}\) près. Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.

  1. Déterminer la probabilité de l'évènement « \(X > 99\) ».
  2. Déterminer la probabilité de l'évènement « \(99 \leqslant X \leqslant 101\) ».
  3. Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre 99 grammes et 101 grammes. Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
  4.  

Sujet Oral TSTI2D 05

oui
oui
STI2D
Année 2014
Probabilités,Nombres complexes

Oral 5 STI2D

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  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Nombres complexes



Exercice

  1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes \(z\) et \(z'\) : \[\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz' & = & -1 \\ z-z' & = & 2+i \end{array} \right. \]On donnera les solutions sous forme algébrique.
  2. Le plan complexe \(P\) est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique 3 cm ;
    on désigne par \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2} \).
    1. placer dans le plan les points \(A , B\) et \(C\) d'affixes respectives : \(z_A = -1 ;z_B = 2i \) et \(z_C =- 2 + i\).
    2. Calculer les modules des nombres complexes : \(z_B-z_A\) et \(z_B-z_C\).
    3. Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
Probabilités



Exercice Un client entre dans un restaurant. On considère les événements suivants: A: « le client a choisi un menu» ,
B: « le client a choisi un apéritif» .

  1. Définir par une phrase l'événement \(A\cap B\) .
  2. On admet que \(P(B) = 0,6\). Calculer \(P(\bar{B} )\).
  3. On admet de plus que \(P(A) = 0,2\) et \(P(A\cup B ) = 0,5\). Calculer alors \(P(A\cap B)\)
 

Sujet Oral TSTI2D 06

oui
oui
STI2D
Année 2014
QCM,Fonctions généralités,Nombres complexes

Oral 6 STI2D

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Nombres complexes



Exercice

  1. Résoudre le système suivant d'inconnues complexes \(z\) et \(z'\) : \[\left \{ \begin{array}{rcl} z+iz' & = & -1 \\ z-z' & = & 2+i \end{array} \right. \]On donnera les solutions sous forme algébrique.
  2. Le plan complexe \(P\) est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique 3 cm ;
    on désigne par \(i\) le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\dfrac{\pi}{2} \).
    1. placer dans le plan les points \(A , B\) et \(C\) d'affixes respectives : \(z_A = -1 ;z_B = 2i \) et \(z_C =- 2 + i\).
    2. Calculer les modules des nombres complexes : \(z_B-z_A\) et \(z_B-z_C\).
    3. Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
Un QCM ?



Exercice
Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
On considère le tableau de variations suivant d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(]-\infty;1[\cup]1;+\infty[\).
On appelle \(C_f\) sa représentation graphique dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\).

  1. La droite d'équation \(x=2\) est asymptote à la courbe \(C_f\) .
  2. La droite d'équation \(x=1\) est asymptote à la courbe \(C_f\) .
  3. La droite d'équation \(y=3\) coupe la courbe \(C_f\) exactement en deux points.
  4. La courbe de la fonction \(f\) admet une tangente verticale d'équation \(x=-3\).
 

Sujet Oral TSTI2D 07

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonction ln,Fonction exp

Oral 7 STI2D

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    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

    Un QCM : Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
  1. Cette courbe admet une asymptote horizontale d'équation \(y=1\).
  2. Cette courbe admet une asymptote verticale d'équation \(x=-\frac{1}{2}\) .
  3. Cette courbe admet une asymptote oblique d'équation \(y=-\frac{x}{2}+1\) .
  4. \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\)
  5. En réalité, la fonction est \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\frac{x}{2}+1+xe^{-x}\) . Soit \(C\) la courbe représentative de \(f\) et soit \(D\) la droite d'équation : \(y=\frac{x}{2}+1\) . Étudier la position de \(D\) par rapport à \(C\).



Exercice On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=2x+1-x\ln x\) .

  1. Calculer la dérivée \(f'\) de \(f\) sur \(]0;+\infty[\) .
  2. Calculer les images exactes des réels \(\frac{1}{e} , \sqrt e , e^2\) .
  3. Vérifier que \(f(x)=x(2-\ln x)+1\) . En déduire \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)\) .
 

Sujet Oral TSTI2D 08

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonction ln

Oral 8 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
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    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice A. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(]0; +\infty[\) par : \(f(x)=x^2-2\ln x\) et \(C\) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités 2cm sur \((Ox)\) et 1cm sur \((Oy)\)).

  1. Étudier la limite de \(f\) en 0. Que peut-on en déduire pour l'axe des ordonnées par rapport à la courbe \(C\) ?
  2. Montrer que \(f(x) = x\left(x-2\dfrac{\ln x}{x}\right )\). Calculer la limite de \(f\) en \(+ \infty\) sachant que \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\ln x}{x}= 0\).
  3. Montrer que la dérivée de la fonction \(f\) est \(f'(x) = 2\dfrac{(x-1)(x+1)}{x}\) et en déduire son signe.
    Dresser le tableau de variation de \(f\).
  4. Soit \(A\) le point de la courbe \(C\) d'abscisse \( 2\). Calculer l'équation de la tangente \(T\) en \(A\).
  5. L'équation \(f(x)=0\) a-t-elle des solutions ?

B. Calcul d'aire

  1. Vérifier que \(F(x) = \frac{x^3}{3} +2 x -2 x \ln x\) une primitive de \(f\) sur \(]0 +\infty[\) .
  2. Calculer l'aire de la surface comprise entre la courbe \(C\), l'axe des abscisse et les droites d'équation \(x = 1\) et \(x = 2\).
 

Sujet Oral TSTI2D 09

oui
oui
STI2D
Année 2014
Equations différentielles

Oral 9 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
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  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice A. Résolution d'une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (E):\(y'+y=-x-1\) ; où \(y\) désigne une fonction de la variable \(x\), définie et dérivable sur l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\) .

  1. Résoudre l'équation différentielle \(y'+y=0\) .
  2. Déterminer la solution \(h\) de cette équation différentielle \(y' + y = 0\) prenant la valeur \(\dfrac{1}{e}\) en \(x = 1\).
  3. Déterminer le nombre réel \(a\) tel que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x)=e^{-x}+ax\) soit solution de l'équation différentielle (E).
  4. Soit \(g\) la fonction définie pour tout nombre réel \(x\) par \(g(x)=3e^x+2x-4\) .
  5. Vérifier que \(g\) est solution de l'équation différentielle \(g'(x)-g(x)=6-2x\) .
 

Sujet Oral TSTI2D 10

oui
oui
STI2D
Année 2014
Nombres complexes,Equations différentielles
 

Oral 10 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
  • Connaissez-vous votre cours ?
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    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice Cet exercice est un vrai/faux : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse. Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux ». Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.
  1. On considère le polynôme \(P\) défini pour tout réel \(x\) par \(P(x)=(x-1)(x-3)(2x+3)\)
    1. L'équation \(P(x)=0\) admet dans \(\mathbb{R}\) trois solutions qui sont 1, 3 et \(-\frac{3}{2}\)
    2. Pour tout réel \(x,P(x)=2x^3-5x^2-6x\) .
    3. L'équation \((e^x-1)(e^x-3)(2e^x+3)=0\) admet trois solutions dans \(\mathbb{R}\) .
  2. Dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, \(i\) désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \(\frac{\pi}{2}\) . On considère les nombres \(z_1=\sqrt 2+\sqrt 2 i\) et \(z_2=\sqrt 2-\sqrt 2 i\)
    1. Les nombres \(z_1\) et \(z_2\) sont solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^2-2\sqrt 2 z+4=0\) .
    2. Un argument de \(z_2\) est \(\frac{-3\pi}{4}\)
    3. Le module de \(z_1\) est \(\sqrt 2\) .
  3. Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(4y''+49y=0\) dans laquelle l'inconnue \(y\) est une fonction de la variable réelle \(x\) définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\), et \(y''\) sa dérivée seconde.
    1. La fonction \(f\) définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=A\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )+B\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) ,où \(A\) et \(B\) sont deux constantes réelles, est solution de \((E)\).
    2. La fonction \(h\) définie pour tout réel \(x\) par \(h(x)=3\cos\left (\dfrac{7x}{2}-\dfrac{3\pi}{4}\right )\) est solution de \((E)\).
    3. La fonction \(k\) définie pour tout réel \(x\) par \(k(x)=\sqrt 2\cos\left (\dfrac{7x}{2}\right )-\sqrt 2\sin\left (\dfrac{7x}{2}\right )\) est la solution de (E) qui vérifie \(k(0)=\sqrt2\) et \(k'(0)=0\).

Sujet Oral TSTI2D 11

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonction exp,Equations différentielles

Oral 11 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
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    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice On définit la fonction \(f\) sur l'ensemble des nombres réels par :\(f(x)=2e^{-\frac{1}{2}x}\) . Le plan est rapporté au repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'unité graphique 2 cm. On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative \(C\) de la fonction \(f\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) . On note \(A\) et \(B\) les points de coordonnées respectives (-3 ; 0 ) et ( 0 ; 2). On note \(D\) le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :

  • la courbe \(C\) ,
  • l'axe des abscisses,
  • l'axe des ordonnées,
  • la droite d'équation : \(x = 2\).

  1. La fonction \(f\) est une solution de l'équation différentielle (E) :
    ( \(y\) désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels de variable \(x\) ; \(y'\) désigne la fonction dérivée de la fonction \(y\).)
    1. \((E):y'-2y=0\) ,
    2. \((E):2y'-y=0\),
    3. \((E):y'-y=0\) ,
    4. \((E):2y'+y=0\)
  2. La courbe \(C\) a pour asymptote la droite d'équation :
    1. \(y=-2x\) ,
    2. \(x=0\) ,
    3. \(y=0\)
  3. On note \(S\) le solide de révolution engendré par la rotation du domaine \(D\) autour de l'axe des abscisses. La valeur \(V\) du volume du solide \(S\) est donnée par :\(V=\pi\displaystyle\int_0^2\left [f(x)\right ]^2\;dx\) (en unités de volume).
    La valeur \(V\) du volume du solide \(S\), en \(cm^3\) est égale à :
    1. \(4\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
    2. \(16\pi\left (1-e^{-2}\right )\) ,
  4. \(32\pi\left (1-e^{-2}\right )\)
 

Sujet Oral TSTI2D 12

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonctions généralités,Nombres complexes

Oral 12 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
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Exercice \(A, B, C\) sont les points d'affixes respectives : \(z_A=-1+i , z_B=2+i , z_C=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} i\) .
  1. Calculer les affixes de \(\vec{AB} ,\vec{AC}\) et \(\vec{BC}\)
  2. En déduire les longueurs \(AB, AC\) et \(BC\).
  3. Le triangle \(ABC\) est-il rectangle ?


Exercice Le plan est muni du repère orthonormal \((O, \vec \imath, \vec\jmath\, )\) (unité de longueur 2~cm).
On considère \(C_f\), la représentation graphique de la fonction numérique \(f\) définie définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, \]où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des constantes réelles.
La représentation graphique de la courbe \(C_f\) est donnée ci-dessous :

On précise qu'aux points \(A\) et \(B\), la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
  1. A l'aide du graphique, déterminer les valeurs de \(f (0)\), \(f (1)\), \(f' (0)\) et \(f' (2)\).
  2. Déterminer les valeurs des constantes \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\).
  3. On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ g (x) = x^3 - 3x^2 + 1. \]Déterminer les limites de la fonction \(g\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
  4. Étudier les variations de la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\). (Autrement dit calculer la dérivée \(g' (x)\), étudier le signe de cette dérivée, puis établir le tableau de variations de \(g (x)\).)
  5. On admet que la représentation graphique donnée ci-avant est celle de \(C_g\), la courbe représentative de la fonction \(g\).Calculer \(g (1)\). En déduire le signe de la fonction \(g\) sur l'intervalle \([1, 2]\).
  6. Déterminer une équation de la tangente T à \(C_g\) au point d'abscisse \(1\).
  7. Etudier la position relative de la tangente T par rapport à \(C_g\) .

SUJET ORAL TSTI2D 13

oui
oui
STI2D
Année 2014
QCM,Nombres complexes,Fonction ln,Fonction exp
 

Oral 13 STI2D

Avant de démarrer ce travail de révision \(\ldots\)
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    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
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Exercice On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(f(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}\) .

  1. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]0;+\infty[\) par : \(F(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2}\left (\ln x\right )^2\). Montrer que \(F\) est une primitive de \(f\).
  2. Calculer \(I=\displaystyle\int_1^4 f(x)\; dx\) .



Exercice

  1. Parmi les propositions suivantes, quelle est celle qui permet d'affirmer que la fonction exponentielle admet pour asymptote la droite d'équation \(y = 0\) ?
    1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \text{e}^x = + \infty\),
    2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0\) ,
    3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty\)
    1. Le nombre complexe \(z = 1 + i\sqrt{3}\) a pour module et argument respectivement :
    2. 2 et \(\frac{\pi}{3}\) ,
    3. 1 et \(\frac{\pi}{6}\) ,
    4. 4 et \(-\frac{\pi}{3}\)
    1. Le plan complexe est rapporté au repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). Le point d'affixe \(1 + i\) appartient:
    2. au cercle de centre O et de rayon \(\sqrt{2}\). ,
    3. à la droite d'équation \(y =-x\). ,
    4. au cercle de centre O et de rayon 1.

SUJET ORAL TSTI2D 14

oui
oui
STI2D
Année 2014
Nombres complexes,Fonction ln

Oral 14 STI2D

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  • vous préparerez des réponses que vous devrez  être capable de justifier en précisant, lorsque c'est utile, les notions de cours indispensables.
    Il est utile de rédiger entièrement vos réponses par écrit .
  • Vous pouvez utiliser du brouillon et la calculatrice est autorisée!


Exercice Soit \(g\) définie sur \(]0;+\infty[\) par \(g(x)=2x-4-\ln(x)\)

  1. Déterminer \(g'(x)\) et étudier son signe
  2. Calculer la limite en \(0\)
  3. Démontrer que \(g(x)=x\left (2-\dfrac{4}{x}-\dfrac{\ln(x)}{x}\right )\). En déduire \(\lim \limits_{x\rightarrow +\infty} g(x)\)



Exercice On considère les nombres complexes suivants : \[z_1=[1; \frac{\pi}{3}] \qquad \qquad z_2=[3;\frac{3\pi}{4}]\]

  1. Placer ces nombres complexes un repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) d'unité graphique \(1:1cm\)
  2. Donner le module et un argument de \(z_1 \times z_2\)
  3. Donner la forme algébrique de \(z_1 \times z_2\)
 

SUJET ORAL TSTI2D 15

oui
oui
STI2D
Année 2014
Nombres complexes,Fonction exp

Oral 15 STI2D

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Exercice : Nombres complexes
Soit \(\mathrm{i}\) le nombre complexe de module \(1\) et d'argument \(\dfrac{\pi}{2}\).
Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=2z^3-10z^2+21z-18\).

  1. Calculer \(P(2)\), puis déterminer les réels \(a, b\) et \(c\) tels que pour tout nombre complexe \(z\) on ait \[P(z)=(z-2)(az^2+bz+c)\]
  2. Résoudre dans l'ensemble \(\mathbb{C}\) des nombres complexes, l'équation \(2z^2-6z+9=0\), puis en déduire les solutions de l'équation \(P(z)=0\).
  3. Le plan est muni d'un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\) (unité graphique \(2\) cm). On considère les points \(A\) et \(B\), d'affixes respectives \(z_A=\dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2} \mathrm{i}\) et \(z_B = \overline{z_A}\), ainsi que les points \(C\) et \(D\) d'affixes respectives \(z_C\) et \(z_D\) telles que \(z_C=-z_A\) et \(z_D=\mathrm{i}z_A\).
    1. Écrire les nombres complexes \(z_C\) et \(z_D\) sous forme algébrique.
    2. Sur la copie, placer les points \(A, B, C,\) et \(D\) dans le repère \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\).
    3. Quelle est la nature du quadrilatère \(ABCD\) ? Justifier la réponse.



Exercice : Une étude de fonction exponentielle
On considère la fonction \(f\) définie pour tout nombre réel \(x\) par \[f(x) = - \text{e}^{2x} + x + 3.\]On appelle (\(\mathcal{C}\)) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\), unités graphiques : 3 cm sur l'axe des-abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

  1. Étude en \(-\infty\).
    1. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(- \infty\).
    2. Montrer que la droite \(\Delta\) d'équation \(y = x + 3\) est asymptote à la courbe (\(\mathcal{C}\)) en \(- \infty\).
    3. Étudier la position de la courbe (\(\mathcal{C}\)) par rapport à la droite \(\Delta\).
  2. Étude en \(+ \infty\).
    1. Justifier que pour tout nombre réel \(x\) non nul, \[f(x) = \left[\dfrac{\text{e}^x}{x}\left(-\text{e}^{x}\right) + 1 + \dfrac{3}{x}\right]x.\]
    2. Étudier la limite de la fonction \(f\) en \(+ \infty\).
  3. Étude des variations de \(f\)
    1. Calculer \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    2. Étudier le signe de \(f'(x)\) pour tout nombre réel \(x\).
    3. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\). Donner la valeur exacte de son maximum.
  4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (\(\mathcal{C}\)) au point d'abscisse 0.
 

SUJET ORAL TSTI2D 16

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Nombres complexes

Oral 16 STI2D

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Exercice
Nombres complexes On considère les deux nombres complexes suivants : \[a=1+i \qquad \qquad b=\sqrt{3}-i\]

  1. Déterminer le module et un argument de \(a\) et \(b\)
  2. Ecrire \(a\) et \(b\) sous forme exponentielle
  3. Donner la forme exponentielle de \(\dfrac{1}{a}\)



Exercice La courbe \(\Gamma\) (=gamma) est la courbe représentative dans le plan muni du repère orthonormal \(\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)\) d'une fonction \(f\) définie et dérivable sur l'intervalle \([-\frac{3}{2};1]\) .

Les questions 1) et 2) sont indépendantes. On sait que :

  • Les points A, B, et C ont pour coordonnées respectives (-2;0), (0;1) et (1;\(\frac{5}{2}\)).
  • La courbe \(\Gamma\) passe par les points B et C
  • La droite (AB) est \emph{la tangente en B} à la courbe \(\Gamma\)
  1. A l'aide de tous ces renseignements, calculer
    • \(f(0)\)
    • \(f(1)\)
    • \(f'(0)\)
  2. On admet que \(f(x)=x^3+\frac{1}{2}x+1\) sur [\(-\frac{3}{2};1\)].
    Calculer l'aire (en ua) du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droite d'équations \(x=0\) et \(x=1\)
 

SUJET ORAL TSTI2D 17

oui
oui
STI2D
Année 2014
Fonction exp,Equations différentielles
 

Oral 17 STI2D

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Exercice
Exponentielle et calcul intégral
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0;2]\) par \(f(x)=e^{-x}\)

  1. Etudier les variations de \(f\) et en déduire le maximum et le minimum de \(f\)
  2. Calculer la valeur moyenne de \(f\) c'est-à-dire le nombre \(m\) tel que: \[m=\dfrac{1}{2-0}\int_{0}^{2} e^{-x}dx\]



Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle \[(E) : \qquad y''+y=0\]
  2. On désigne par \(f\) la solution particulière de \((E)\) dont la courbe représentative dans passe par le point de coordonnées \((0;1)\) et qui admet en ce point une tangente parallèle à la droite d'équation \(y=x\)
    1. D'après l'énoncé, combien valent \(f(0)\) et \(f'(0)\)?
    2. En déduire que \(f(x)=\cos(x)+\sin(x)\)

 


SUJET ORAL TSTI2D 18

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Fonction ln
 

Oral 18 STI2D

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Exercice Etude d'une fonction
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[f(x)=\frac{\ln x}{x^2}\]

  1. Vérifier que la dérivée \(f'\) est donnée par \(f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\)
  2. Résoudre dans \(]0;+\infty[\) l'inéquation \(1-2\ln x>0\)
  3. En déduire le tableau des variations de \(f\)
  4. Calculer, en simplifiant au maximum, les images de : \[\frac{1}{2} \qquad ;\qquad 4 \qquad ;\qquad 2e \]



Exercice

  1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : \(I=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} cos(2x) \, dx \)
  2. Soit \(f\) définie sur \(]-2;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{x+2}\)
    1. Démontrer que \(f(x)=\dfrac{7}{x+2}+x-4\)
    2. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\, dx\)

 


SUJET ORAL TSTI2D 19

oui
oui
STI2D
Année 2014
Probabilités,Equations différentielles
Loi binomiale,Loi normale
 

Oral 19 STI2D

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Exercice
Équation différentielle

  1. Résoudre l'équation différentielle :\[y'+2y=0\]où \(y\) est une fonction de la variable \(x\) définie sur \(\mathbb{R}\).
  2. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f\) définie par \, \(f(x)=e^{-2x}\)
    Déterminer graphiquement et algébriquement les solutions de l'inéquation \(f(x)>2\)



Exercice
Probabilités Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique. Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à \(10^{-3}\) près. Partie A :
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à 0,9. Soit \(X\) la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

  1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
  2. Calculer l'espérance mathématique \(E(X)\) et l'écart type \(\sigma(X)\) de la variable aléatoire \(X\).
  3. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins 8 pièces soient conformes.


Partie B :
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit \(M\) la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre. On suppose que \(M\) suit la loi normale d'espérance 80 et d'écart type 0,6.

  1. Déterminer la probabilité \(P\left(79 \leqslant M \leqslant 81\right)\).
  2. Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à 80 ?

SUJET ORAL TSTI2D 20

oui
oui
STI2D
Année 2014
Calcul intégral,Equations différentielles

Oral 20 STI2D

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Exercice
Calcul d'une primitive
On note \(g\) la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par \[g(x) = \dfrac{x}{x + 1}\]
  1. Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle [0 ; 2],~ \( g(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}\).
  2. En déduire une primitive de \(g\) sur l'intervalle [0 ; 2].

Exercice
Équation différentielle
  1. Résoudre l'équation différentielle (E) : \(y'' +\dfrac{1}{4}y = 0,~y\) désignant une fonction numérique définie sur l'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels.
  2. Déterminer la fonction \(f\), solution de l'équation précédente, qui vérifie :
    \(f(0) = 2\) et \(f'(0) = \sqrt{3}\).
  3. Vérifier, que pour tout nombre réel \(x,~f(x) = 4 \sin\left(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{6}\right)\).
    1. En utilisant l'équation différentielle (E), expliquer comment on peut obtenir la représentation graphique de \(f''\), dérivée seconde de \(f\), à partir de celle de \(f\).
    2. Ci-dessous est tracée la représentation graphique de \(f\) sur l'intervalle \([0~;~4\pi]\). Tracer la représentation de \(f''\) sur ce même graphique et sur ce même intervalle.
 

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