Baccalauréat STI2D et STL/SPCL - Polynésie juin 2019

 

Exercice 1 5 points


Suites

Température extérieure T
En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à 20 °C.
La température extérieure est notée T .
Dans tout l'exercice, on suppose que T < 20 .
Température intérieure initiale 20 °C
Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur.
maison


On modélise cette situation par une suite \(\left(u_n\right)\) dont le terme général \(u_n\) désigne la température intérieure de la maison \(n\) heures après la coupure du chauffage. Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure \(T\) constante, on admet que, pour tout entier naturel \(n\) : \[u_{n+1} = 0,99 u_n + \dfrac{T}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20.\]Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A


On suppose que la température extérieure \(T\) est égale à 0° C. On a donc \(T = 0\).

  1. Calculer les termes \(u_1\) et \(u_2\).
  2. Montrer que, dans ce cas, la suite \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  3. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  4. Déterminer la limite de la suite \(\left(u_n\right)\). Justifier.
    1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation \(u_n < 5\).
    2. En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5° C.

 

Partie B


On suppose que la température extérieure \(T\) est égale à \(-15\)° C. On a donc \(T = - 15\).

  1. Montrer que, dans ce cas, la suite \(\left(u_n\right)\) est définie pour tout entier naturel \(n\) par: \[u_{n+1} = 0,99 u_n - 0,15 \quad \text{et }\: u_0 = 20.\]
    1. Calculer les termes \(u_1\) et \(u_2\).
    2. Dans ce cas, la suite \(\left(u_n\right)\) est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
  2. On souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, le nombre d'heures à partir duquel la température intérieure devient strictement inférieure à \(5\)° C. On utilise pour cela l'algorithme incomplet ci-contre dans lequel \(U\) désigne un nombre réel et \(N\) un nombre entier naturel. \[\begin{array}{|c|}\hline U \gets 20\\ N \gets 0\\ \text{Tant que} \ldots\\ \hspace{0.4cm} U \gets \ldots \\ \hspace{0.4cm} N \gets \ldots \\ \text{Fin Tant que} \\ \hline \end{array} \]
    1. Recopier et compléter l'algorithme.
    2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre d'heures recherché.

 

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