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BAC S 2014 ANTILLES-GUYANE :

oui
non
S
Année 2014
Antilles Guyanne
Nombres complexes

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note \(\mathbb C\) l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.


On considère la fonction \(f\) qui à tout nombre complexe \(z\) associe \[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]

  1. Calculer l'image de \(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\) par la fonction \(f\).
  2. Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \(f(z) = 5\). Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents.
  3. Soit \(\lambda\) un nombre réel. On considère l'équation \(f(z) = \lambda\) d'inconnue \(z\). Déterminer l'ensemble des valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles l'équation \(f(z) = \lambda\) admet deux solutions complexes conjuguées.
  4. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe \(z\) vérifie \[|f(z) - 8| = 3.\]Prouver que (F) est le cercle de centre \(\Omega(-1~;~0)\) et de rayon \(\sqrt{3}\). Tracer (F) sur le graphique.
  5. Soit \(z\) un nombre complexe, tel que \(z = x + \text{i}y\) où \(x\) et \(y\) sont des nombres réels.
    1. Montrer que la forme algébrique de \(f(z)\) est \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
    2. On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe \(z\) est telle que \(f(z)\) soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites \(D_{1}\) et \(D_{2}\) dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l'annexe en traà§ant ces droites.
  6. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).

 

Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note \(\mathbb C\) l'ensemble des nombres complexes. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)\). On prendra comme unité 2 cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.


On considère la fonction \(f\) qui à tout nombre complexe \(z\) associe \[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]

  1. Calculer l'image de \(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\) par la fonction \(f\).
  2. \[\begin{array}{ll} f\left(-1+\text{i}\sqrt{3}\right) &= \left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^2 + 2\left(-1 + \text{i}\sqrt{3}\right) + 9 \\ &=1 -2\sqrt{3}\text{i} – 3 – 2 +\sqrt{3}\text{i} + 9 \\ &= 5 \end{array}\]
  3. Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \(f(z) = 5\). Ecrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive). On laissera les traits de construction apparents.
  4. \(f(x) = 5 \Leftrightarrow z^2+2z+4 = 0\)
    \(\Delta = 2^- 4 \times 4 = -12\)
    Il y a donc deux racines complexes : \(z_1 = \dfrac{-2 -\text{i}\sqrt{12}}{2} = -1 – \text{i}\sqrt{3}\) et \(z_2 = \overline{z_1} = -1 + \text{i}\sqrt{3}\)
    \(|z_1| = \sqrt{1 + 3} = 2\).
    Donc \(z_1 = 2\left(-\dfrac{1}{2} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = 2\text{e}^{-2\text{i}\pi/3}\) et \(z_2 = 2\text{e}^{2\text{i}\pi/3}\)
    \(\quad\)
  5. Soit \(\lambda\) un nombre réel. On considère l'équation \(f(z) = \lambda\) d'inconnue \(z\). Déterminer l'ensemble des valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles l'équation \(f(z) = \lambda\) admet deux solutions complexes conjuguées.
  6. \(f(z)=\lambda\) \(\Leftrightarrow z^2+2z+9-\lambda\)
    \(\Delta = 2^2 – 4(9-\lambda) \) \(= 4 – 36 + 4\lambda\) \(=4(-8 + \lambda)\).
    L’équation \(f(z)=\lambda\) possède donc deux solutions complexes conjuguées si, et seulement si, \(\lambda <8\).
  7. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe \(z\) vérifie \[|f(z) - 8| = 3.\]Prouver que (F) est le cercle de centre \(\Omega(-1~;~0)\) et de rayon \(\sqrt{3}\). Tracer (F) sur le graphique.
  8. \(|f(z)-8|=|z^2 + 2z + 1| \) \(= \left|(z+1)^2\right|\) \( = |z+1|^2\).
    Par conséquent \(|f(z)-8|3 \Leftrightarrow |z+1| = \sqrt{3}\).
    \((F)\) est donc bien le cercle de centre \(\Omega(-1;0)\) et de rayon \(\sqrt{3}\).
  9. Soit \(z\) un nombre complexe, tel que \(z = x + \text{i}y\) où \(x\) et \(y\) sont des nombres réels.
    1. Montrer que la forme algébrique de \(f(z)\) est \[x^2 - y^2 + 2x + 9 + \text{i}(2xy + 2y).\]
    2. \[\begin{array}{ll} f(x+\text{i}y) &= \left(x+\text{i}y\right)^2+2(x+\text{i}y) + 9 \\ &= x^2+2xy\text{i} – y^2 + 2x + 2y\text{i} + 9 \\ &= x^2-y^2+2x + 9 + \text{i}(2xy+2y) \end{array}\]
    3. On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe \(z\) est telle que \(f(z)\) soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droites \(D_{1}\) et \(D_{2}\) dont on précisera les équations. Compléter le graphique de l'annexe en traà§ant ces droites.
    4. \(f(z)\) est nombre réel si, et seulement si, \(2xy+2y=0\) \(\Leftrightarrow 2y(x+1)=0\) \(\Leftrightarrow y = 0\) ou \(x=-1\).
      \((E)\) est donc la réunion des droites d’équation \(y=0\) et \(x=-1\).
  10. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).
  11. Regardons dans un premier temps l’intersection de \((F)\) avec \(D_1\) d’équation \(y=0\).
    Il s’agit donc de deux points d’abscisse respective \(-1 – \sqrt{3}\) et \(1+\sqrt{3}\). On a donc \(C\left(-1-\sqrt{3};0\right)\) et \(D\left(-1+\sqrt{3};0\right)\).
    \(\quad\)
    Regardons maintenant l’intersection de \((F)\) avec la droite \(D_2\) d’équation \(x=-1\).
    Il s’agit de deux points d’ordonnée respective \(0+\sqrt{3}\) et \(0-\sqrt{3}\). On a donc \(G\left(-1;\sqrt{3}\right)\) et \(H\left(-1;-\sqrt{3}\right)\).