DS 12 TGE2 Equations différentielles Le corrigé

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Correction du Devoir surveillé n°12 des TGE2

Exercice 1


Attention , il n'y avait pas de malus!! Il fallait donc répondre à toutes les questions...

Questionnaire à choix multiples
Pour chacune des quatre questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Notation : une bonne réponse rapporte 1 point.Unemauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun.
On définit la fonction $f $ sur l’ensemble $RR$ des nombres réels par : $ f (x) =2e^(-1/2) x$ .
Le plan est rapporté au repère orthononnal $(O,vec(i);vec(j))$ d’unité graphique 2 cm.
On a tracé, ci-dessous, la courbe représentative $C$ de la fonction$ f $ dans le repère $(O,vec(i);vec(j))$. .
On note $A$ et $B$ les points de coordonnées respectives $(?3 ; 0)$ et $(0 ; 2)$.
On note $D$ le domaine (hachuré ci-dessous) délimité par :
• la courbe C ,
• l’axe des abscisses,
• l’axe des ordonnées,
• la droite d’équation : $x = 2$.

 

figure

Question 1 : La fonction $f$ est une solution de l’équation diffèrentielle $(E)$ :

Réponse a. : $(E) : 2y' + y = 0$

Réponse b. : $(E) : 2y' ? y = 0$

Réponse c. : $(E) : y'? y = 0.$

($y$ désigne une fonction inconnue définie sur l' ensemble des nombres réels de variable $x ; y'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $y$.)

On calcule $f'(x)=2xx(-1/2)e^(-1/2x)=-1/2xx2e^(-1/2x)=-1/2f(x)$

Comme $f'(x)=-1/2f(x)$; $f$ est solution de l'équation différentielle $y'=-1/2y$, ou encore $2y'=-y$ soit $2y'+y=0$

Ainsi la réponse a est la bonne réponse.

Question 2 : La courbe $C$ a pour asymptote la droite d'équation :

Réponse a. : $y =?2x$ ;

Réponse b. : $x =0 $;

Réponse c. : $y =0$.

On a ${{:(lim_(x->+oo)-1/2x=-oo),(lim_(t->-oo)e^t=0):}:}$; donc par composée $lim_(x->+oo)e^(-1/2x)=0$ puis $lim_(x->+oo)f(x)=0$

Ayant $lim_(x->+oo)f(x)=0$ la droite déquation $y=0$ est asymptote horizontale à $C$ au voisinage de $+oo$.

Ainsi la réponse c est la bonne réponse.

Question 3 : La tangente $T$ à la courbe $C$ au point d’abscisse 0 a pour équation :

Réponse a. : $y =?2x +2 $;

Réponse b. : $y = ?x +2 $;

Réponse c. : $y = x +2$.

La tangente $T$ à $C$ au point d'abscisse $0$ a pour équation $y=f'(0)(x-0)+f(0)$

Comme $f(x)=2e^(-1/2x)$ on a $f(0)=2e^0=2$

et $f'(x)=-e^(-1/2x)$ ainsi $f'(0)=-e^0=-1$

Donc $T$ a pour équation $y=-1(x-0)+2$ soit $y=-x+2$.

Ainsi la réponse b est la bonne réponse.

Question 4 : On note $S$ le solide de révolution engendré par la rotation du domaine $D$ autour de l'axe des abscisses.

La valeur $V$ du volume du solide $S$ est donnée par : $V= int_0^2[ f (x)]^2 dx$ (en unités de volume).

La valeur $V$ du volume du solîde $S$, en $cm^3$ est égale à :

Réponse a. : $4pi(1?e^(?2))$;

Réponse b. : $16pi(1?e^(?2))$;

Réponse c. : $32pi(1?e^(?2))$.

Comme $f(x)=2e^(-1/2x)$ on a $[f(x)]^2=4(e^(-1/2x))^2=4e^[2xx(-1/2x)]=4e^(-x)]$

Si on note $G$ une primitive de $g$, on a $G(x)=4e^(-x)/(-1)=-4e^(-x)$

Rappel: $x\mapsto e^(ax)$ a pour primitives $x\mapsto 1/ae^(ax)+C$ où $C$ désigne une constante réelle quelconque.

On calule $V=pi int_0^2 g(x)dx= pi (G(2)-G(0))$

$G(2)=-4e^(-2)$ et $G(0)=-4e^0=-4$

Ainsi $V=pi(-4e^(-2)+4)=4pi(1-e^(-2)) u.v.$

Ici une unité de volume vaut $1 u.v.=(2cm)^3=8cm^3$

Donc $V=8xx4pi(1-e^(-2)) =32pi(1-e^(-2))cm^3$

Ainsi la réponse c est la bonne réponse.