Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x+1+\dfrac{4}{x^2}\].
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$.
- Calculer $f'(x)$ et l'écrire sous forme de fraction rationnelle.
- Vérifier que $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$.
- En déduire la factorisation de $f'(x)$.
- En déduire les variations de $f$.
- On note $\mathscr{D}$ la droite d'équation $y=x+1$.
En étudiant le signe de $f(x)-(x+1)$, trouver la position relative de $\mathscr{C}$ et de $\mathscr{D}$.
- Construire la droite $\mathscr{D}$ et la courbe représentative de $f$.