Baccalauréat S Asie 20 juin 2019

 

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats

 


La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant.
Une tasse de café est servie à une température initiale de 80° dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée \(M\). Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L'un, dans la partie A, utilise une suite; l'autre, dans la partie B, utilise une fonction.
Les parties et B sont indépendantes

Partie A


Dans cette partie, pour tout entier naturel \(n\), on note \(T_n\) la température du café à l'instant \(n\), avec \(T_n\) exprimé en degré Celsius et \(n\) en minute. On a ainsi \(T_0 = 80\). On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques \(n\) et \(n + 1\) par l'égalité: \[T_{n+1} - T_n = k\left(T_n - M\right)\]où \(k\) est une constante réelle. Dans la suite de la partie A, on choisit \(M = 10\) et \(k = - 0,2\). Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(T_{n+1} - T_n = - 0,2 \left(T_n -10\right)\).

  1. D'après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite \(\left(T_n\right)\) ?
  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\) :  \(T_{n+1} = 0,8 T_n + 2\).
  3. On pose, pour tout entier naturel \(n\):  \(u_n = T_n - 10\).
    1. Montrer que \(\left(u_n\right)\) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme \(u_0\).
    2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(T_n = 70 \times 0,8^n + 10\).
    3. Déterminer la limite de la suite \(\left(T_n\right)\).
  4. On considère l'algorithme suivant : \[\begin{array}{|c|}\hline \text{Tant que } T \geqslant 40 \\ \hspace{0.8cm} T\gets 0,8T+2 \\ \hspace{0.8cm} n \gets n+1 \\ \text{Fin Tant que }\\ \hline \end{array}\]
    1. Au début, on affecte la valeur \(80\) à la variable \(T\) et la valeur \(0\) à la variable \(n\). Quelle valeur numérique contient la variable \(n\) à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
    2. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

 

Partie B


Dans cette partie, pour tout réel \(t\) positif ou nul, on note \(\theta(t)\) la température du café à l'instant \(t\), avec \(\theta(t)\) exprimé en degré Celsius et \(t\) en minute. On a ainsi \(\theta(0) = 80\).
Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que \(\theta\) est une fonction dérivable sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) et que, pour tout réel \(t\) de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par l'égalité : \[\theta'(t)= - 0,2(\theta(t) - M). \]

  1. Dans cette question, on choisit \(M = 0\). On cherche alors une fonction \(\theta\) dérivable sur l'intervalle \([0~;~+\infty[\) vérifiant \(\theta(0) = 80\) et, pour tout réel \(t\) de cet intervalle : \(\theta'(t) = - 0,2\theta(t)\).
    1. Si \(\theta\) est une telle fonction, on pose pour tout \(t\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\),  \(f(t) = \dfrac{\theta(t)}{\text{e}^{- 0,2t}}\). Montrer que la fonction \(f\) est dérivable sur \([0~;~+\infty[\) et que, pour tout réel \(t\) de cet intervalle, \(f'(t) = 0\).
    2. En conservant l'hypothèse du a. , calculer \(f(0)\). En déduire, pour tout \(t\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\) , une expression de \(f(t)\), puis de \(\theta(t)\).
    3. Vérifier que la fonction \(\theta\) trouvée en b. est solution du problème.
  2. Dans cette question, on choisit \(M = 10\). On admet qu'il existe une unique fonction \(g\) dérivable sur \([0~;~+\infty[\), modélisant la température du café à tout instant positif \(t\), et que, pour tout \(t\) de l'intervalle \([0~;~+\infty[\) : \[g(t)=10 + 70\text{e}^{-0,2t},  \text{où }  t  \text{ est exprimé en minute et }  g(t)  \text{ en degré Celsius.} \]Une personne aime boire son café à \(40\)°. Montrer qu'il existe un unique réel \(t_0\) dans \([0~;~+\infty[\) tel que \(g\left(t_0\right) = 40\). Donner la valeur de \(t_0\) arrondie à la seconde.

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