Baccalauréat S Liban 31 mai 2019

 

 

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

 


Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J).

  1. On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle ]0 ; 1] par \[f(x) = x(1 - \ln x)^2.\]
    1. Déterminer une expression de la fonction dérivée de \(f\) et vérifier que pour tout \(x \in ]0~;~1]\), \(f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)\).
    2. Étudier les variations de la fonction \(f\) et dresser son tableau de variations sur l'intervalle \(]0~;~1]\) (on admettra que la limite de la fonction \(f\) en 0 est nulle).

On note \(\Gamma\) la courbe représentative de la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0~;~1]\) par \(g(x) = \ln x\). Soit \(a\) un réel de l'intervalle \( ]0~;~1]\). On note \(M_a\) le point de la courbe \(\Gamma\) d'abscisse \(a\) et \(d_a\) la tangente à la courbe \(\Gamma\) au point \(M_a\). Cette droite \(d_a\) coupe l'axe des abscisses au point \(N_a\) et l'axe des ordonnées au point \(P_a\) . On s'intéresse à l'aire du triangle O\(N_aP_a\) quand le réel \(a\) varie dans l'intervalle \(]0~;~1]\).

  1. Dans cette question, on étudie le cas particulier où \(a = 0,2\) et on donne la figure ci-dessous. 
    Liban Ex1
    1. Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle O\(N_{0,2}P_{0,2}\) en unités d'aire.
    2. Déterminer une équation de la tangente \(d_{0,2}\).
    3. Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle O\(N_{0,2}P_{0,2}\) . Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel \(a\) de l'intervalle ]0 ; 1], l'aire du triangle O\(N_aP_a\) en unités d'aire est donnée par \(\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2}a (1 - \ln a)^2\).
  2. À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de \(a\) l'aire \(\mathcal{A}(a)\) est maximale. Déterminer cette aire maximale.

 

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