Baccalauréat S Métropole 22 juin 2018

 

Exercice 1 6 points


Commun à tous les candidats


Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous la courbe d'équation: \[y = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x} - 2\right).\]Cette courbe est appelée une « chaînette ». On s'intéresse ici aux « arcs de chaînette» délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein. On définit la « largeur » et la « hauteur » de l'arc de chaînette délimité par les points \(M\) et \(M'\) comme indiqué sur le graphique.
chainette1
Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point \(M\) d'abscisse \(x\) strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

  1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation \[(E) : \text{e}^x + \text{e}^{- x} - 2 = 0.\]
  2. On note \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) par : \[f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{- x} - 4x - 2.\]
    1. Vérifier que pour tout \(x > 0,\: f(x) = x \left(\dfrac{\text{e}^x}{x}- 4\right) + \text{e}^{- x} - 2\).
    2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)\).
    1. On note \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\). Calculer \(f'(x)\), où \(x\) appartient à l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).
    2. Montrer que l'équation \(f'(x) = 0\) équivaut à l'équation : \(\left(\text{e}^x\right)^2 - 4\text{e}^x - 1 = 0\).
    3. En posant \(X = \text{e}^x\), montrer que l'équation \(f'(x) = 0\) admet pour unique solution réelle le nombre \(\ln \left(2 + \sqrt{5}\right)\).
  3. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée \(f'\) de \(f\) :
    chainette2
    1. Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
    2. Démontrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution strictement positive que l'on notera \(\alpha\).
  4. On considère l'algorithme suivant où les variables \(a\), \(b\) et \(m\) sont des nombres réels : \[\begin{array}{|l|}\hline \text{Tant que } b - a > 0,1 \text{faire:}\\ \hspace{1cm} m \gets \dfrac{a+b}{2} \\ \hspace{1cm}\text{ Si } \text{e}^m + \text{e}^{-m} - 4m - 2 > 0 \text{, alors:}\\ \hspace{2cm} b \gets m \\ \hspace{1cm}\text{Sinon :}\\ \hspace{2cm} a\gets m \\ \hspace{1cm}\text{Fin Si }\\ \text{Fin Tant que }\\ \hline \end{array}\]
    1. Avant l'exécution de cet algorithme, les variables \(a\) et \(b\) contiennent respectivement les valeurs \(2\) et \(3\). Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ? On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.
    2. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question précédente ?
    \[ \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline m & a & b & b - a \\ \hline &2& 3 &1\\ \hline 2,5 &&&\\ \hline \ldots &\ldots&\ldots&\\ \hline ~ &&&\\ \hline \end{array}\]
  5. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-contre. Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.
    chainette3
    La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l'équation : \[\left(E'\right) : \text{e}^{\frac{t}{39}} + \text{e}^{-\frac{t}{39}} - 4\frac{t}{39} - 2 = 0.\]Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

 

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