Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013

 

Exercice 1  5 points


Commun à tous les candidats

Soit \(f\) la fonction dérivable, définie sur l'intervalle \(]0 ;  +\infty[\) par
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

  1. Étude d'une fonction auxiliaire
    1. Soit la fonction \(g\) dérivable, définie sur \([0 ;  +\infty[\) par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\]Étudier le sens de variation de la fonction \(g\).
    2. Démontrer qu'il existe un unique réel \(a\) appartenant à \([0 ;  +\infty[\) tel que \(g(a) = 0\). Démontrer que \(a\) appartient à l'intervalle [0,703 ; 0,704[.
    3. Déterminer le signe de \(g(x)\) sur \([0 ;  +\infty[\).
  2. Étude de la fonction h \(f\)
    1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) en \(0\) et en \(+ \infty\).
    2. On note \(f'\) la fonction dérivée de \(f\) sur l'intervalle \(]0 ;  +\infty[\). Démontrer que pour tout réel strictement positif \(x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}\).
    3. En déduire le sens de variation de la fonction \(f\) et dresser son tableau de variation sur l'intervalle \(]0 ;  +\infty[\).
    4. Démontrer que la fonction \(f\) admet pour minimum le nombre réel \(m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}\).
    5. Justifier que \(3,43 < m < 3,45\).

 

 

ImprimerE-mail

Statistiques

Visiteurs
151
Articles
1351
Compteur d'affichages des articles
6431617