Baccalauréat S Polynésie 13 juin 2014

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Exercice 1  5 points


Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points \[\text{A}(5~;~-5~;~2), \text{B} (-1~;~1~;~0), \text{C}(0~;~1~;~2)\quad \text{et D}(6~;~6~;~-1).\]

  1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.
    1. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}- 2\\3\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (BCD).
    2. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD).
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.
  3. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $(BCD)$.
  4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan (BCD).
  5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
  6. On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ la hauteur correspondante.
  7. On admet que AB = $\sqrt{76}$ et AC $= \sqrt{61}$. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.
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